komplexes Eigenwertproblem

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fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »
komplexes Eigenwertproblem
Hallo!

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Seien und . Für jedes sei



definiert.

a) Untersuchen Sie, ob linear ist.

b) Sei . Weisen Sie nach, dass ein Eigenwert der Matrix und ein zugehöriger Eigenvektor. Geben Sie einen, von verschiedenen Eigenwert von mit zugehöriger algebraischer und geometrischer Vielfachheit an. (Hinweis: Diskutieren Sie zunächst den Fall ).

a) ist klar, kann nicht linear sein.

b) Leider stocke ich hier:

Ich will zeigen, dass das oben definierte ein Eigenwert mit EV ist:

wo ein Eigenwert ist.

Also:



Damit fällt das sowieso aus der Gleichung, jedoch ist ja nun:



und wir wissen nur , was mich irgendwie nicht weiterbringt.

Mfg!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Mich verwirrt Deine Notation masiv:
Zitat:
.

Was wird da aus rausgenommen?

Zitat:

Ist x jetzt eine -Matrix? Was heißt das in diesem Kontext (kenn das nicht für komplexe Zahlen)?

Zitat:

und hier ist x wieder ein Zahl? Ist das * das von vorher?
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, es ist natürlich ein dummer Tippfehler, es muss natürlich heißen! Gemeint ist einfach der 0-Vektor.

Gemeint ist damit wohl in diesem Zusammenhang die Adjungierte, zu der wir wissen, dass
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexes Eigenwertproblem
Was ein q manchmal doch ausmachen kann.
Zitat:
Original von fnsr21

Damit fällt das sowieso aus der Gleichung, jedoch ist ja nun:



Die Umformung kannst Du so nicht machen, die in der Klammer eine Matrix und ein Skalar stehen (außer Du meinst damit die zum Sklar gehörige Diagonalmatrix).
Ich persönlich finds in dem fall einfacher ohne das ergebnis im hinterkopf zu haben
auszurechnen (Assoziativität der Matrizenmult. nicht vergessen. )
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke hat wunderbar geklappt. Der andere Eigenwert müsste dann ja einfach , oder?

Jedoch weiß ich nicht ganz wie ich davon die algebr. und geometrische Vielfachheit bestimmen soll.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist eine Matrix kein Skalar.
 
 
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich, sry...

Hast du noch einen Tipp wie ich den Rest am einfachsten löse?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexes Eigenwertproblem
Zitat:
Original von fnsr21

Hinweis: Diskutieren Sie zunächst den Fall

Dem Hinweis würde ich folgen. Wenn Du Dir ein, zwei Beispielmatrzen anschaust wirst Du relativ schnell was ein anderer Eigenwert ist.
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehs nicht unglücklich
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

;

Der zweite EW ist? (und der gilt sogar für alle x)
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin wohl etwas übermüdet, aber ich verstehe nicht ganz, was du mit dem Hinweis meinst.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Beispiel im Fall an dem man sehen kann was der 2.EW ist.(Meines Erachtens ist hier ein EW offensichtlich)

Und ich sehe grade was geschockt , was ich bis jetzt übersehen hab:
Zitat:
a) ist klar, kann nicht linear sein.

Stimmt nicht, wem dem so wäre könnten wir das Ganze weitere nicht machen.
Eigenwerte und Vektoren gibts nur bei linearen Abbildungen.
Die Linearität von beweist man durch nachrechnen der Definitionen.
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das dachte ich eigentlich auch..., aber z.B. für die Homogenität gilt doch, für ein :

galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja , Du hast vollkomen Recht. Hammer
Hab irgendwie gelesen statt nur
Also zurück zum 2.Eigenwert.
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wir haben ja



Den hatte ich aber schon im vorigen Teil smile .
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man es nicht im Allgemeinen Fall sieht hilft oft ein Beispiel, darfst auch gern Dein eigenes nehmen.
Zitat:
Original von galoisseinbruder
;

Der zweite EW ist? (und der gilt sogar für alle x)

Falls das die Quelle der Verwirrung ist: EW steht für Eigenwert, EV für Eigenvektor
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ist es nicht. Diese Matrix hätte die Eigenwerte 0 und 5. Nehme ich z.B. hat es die EWe 0 und 10. Nur Eigenwerte 0 haben wir fast nie betrachtet, weil dann die Determinante 0 wird.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fnsr21
Nein ist es nicht. Diese Matrix hätte die Eigenwerte 0 und 5. Nehme ich z.B. hat es die EWe 0 und 10. Nur Eigenwerte 0 haben wir fast nie betrachtet, weil dann die Determinante 0 wird.

Dann ist es jetzt soweit. hat EW 0.
Algebraische und geometrische Vielfachheit lassen sich ermitteln, wenn man sich überlegt was die EV sind.
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal bis hier, ich muss glaube ich erstmal eine Runde schlafen und mache morgen weiter.
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