Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht

07.10.2011, 13:57

analysisisthedevil

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht

Für die Besteigung eines Berges können drei verschiedene Routen mit unterschiedli-chen Schwierigkeitsgraden benutzt werden. Von den Bergsteigern, die den Versuch einer Besteigung unternommen haben, benutzten 60 % die Route A, 35 % die Route B und 5 % die Route C. Die Erfolgswahrscheinlichkeit lag auf der Route A bei 85 %, auf der Route B bei 60 % und auf der Route C bei 20 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein erfolgreicher Bergsteiger die Route A, die Route B, die Route C benutzt hat?

Denkansatz wär Nett...

die offiziellen Lösungen sind:
P(A|E)=0,69863

P(B|E)=0,28767

P(C|E)=1,3699*10^(-2)

Mein Problem ist wie jedesmal , wie komme ich darauf....

07.10.2011, 14:00

Math1986

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht
Denkansatz: Baumdiagramm, Formel von Bayes. Zumindest das solltest du dir nun selbstständig heraussuchen und erarbeiten.

07.10.2011, 14:34

analysisisthedevil

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht so ganz , was P(A|B) heißt,beziehungsweise ich weis schon was es heißt und zwar die wahrscheinlichkeit dass Ereignis A eintritt unter der Bedingung des Ereignisses B.
ich weis aber nich wie ich das Rechne

seien A und B zwei Ereignisse und P(B)>0 dann gilt

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$ falls die beiden Ereignisse unabhängig sind-

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A|B) *P(B) \end{eqnarray*}$ falls P(A)>0 und P(B)>0

heißt das jetzt , dass immer wenn P(A) oder P(B) 0 oder beide 0 sind , A und B unabhängig sind??

07.10.2011, 14:46

analysisisthedevil

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht
Mit dem Wahrswcheinlichkeitsbaum komme ich auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit des Erreichens des Berges von 73 % zunächst mal.
Ich muss also bestimmen , mit welcher wahrscheinlichkeit jemand Route A ,B oder C genommen hat unter der Bedingung , dass er zu den 73 % gehört , die das Ziel erreicht haben richtig?

07.10.2011, 14:58

Math1986

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht
Da auf meinen Hinweis, die Formel von Bayes selbstständig zu erarbeiten, offenbar nicht eingegangen wurde, kann diesen thread nun jemand anderes übernehmen, ich bin raus hier. Viel Erfolg auch.

07.10.2011, 15:16

analysisisthedevil

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht
Sorry für die Zwischenfrage Gott

07.10.2011, 15:42

René Gruber

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RE: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Berg erreicht

Zitat:

Original von analysisisthedevil
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A|B) *P(B) \end{eqnarray*}$ falls P(A)>0 und P(B)>0

heißt das jetzt , dass immer wenn P(A) oder P(B) 0 oder beide 0 sind , A und B unabhängig sind??

Das stimmt, es folgt aber nicht aus dieser Formel, sondern aus der die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ definierenden Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Bei $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A|B) \cdot P(B) \end{eqnarray*}$ ist nur Bedingung $\begin{eqnarray*} P(B)>0 \end{eqnarray*}$ wichtig, während $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ durchaus auch 0 sein darf.

08.10.2011, 16:34

analysisisthedevil

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E:Ereignis , dass der Berg erfolgreich bestiegen wird
A: Route A wird benutzt
B:Route B wird benutzt
C:Route C wird benutzt

gegeben:
P(A)=60 %

P(B)=35 %

P(C)=5 %

P(E| A)=85 % , P(E| B)=60% , P(E| C)=20 %

gesucht :

P(A| E) , P(B| E) , P(C| E)

nach dem Satz von Bayes gilt :

$\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)} \end{eqnarray*}$

nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

P(E)= 60 % *85%+35%*60%+5%*20%=73 %

um die Formel zu lösen fehlt mir jetzt noch $\begin{eqnarray*} P(\overline A)=(100-60)%=40% \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(E|\overline A)=35%*60%+5%*20%=0,31 \end{eqnarray*}$

----------> nach einsetzen erhalte ich für $\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)}=0,8044 \end{eqnarray*}$

Die Lösung muss aber laut skript sein :

P(A| E)=0,69863

was habe ich Falsch gemacht?

08.10.2011, 16:42

Math1986

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Da jetzt doch ein guter Ansatz kommt:

Zitat:

Original von analysisisthedevil
nach dem Satz von Bayes gilt :

$\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)} \end{eqnarray*}$

Du kannst die selbe Formel auch entsprechend für 3 Ereignisse formulieren.:
$\begin{eqnarray*} P\left(A\mid E\right)=\frac{P\left(E\mid A\right) \cdot P\left(A\right)}{P\left(E\right)}=\frac{P(E\mid A) \cdot P(A)}{P(E\mid A) \cdot P(A)+P(E\mid B) \cdot P(B)+P(E\mid C) \cdot P(C)} \end{eqnarray*}$
Das, was in dem Nenner steht, ist schon die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit - hier für 3 Ereignisse statt für 2

08.10.2011, 16:55

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Math1986
Da jetzt doch ein guter Ansatz kommt:

Zitat:

Original von analysisisthedevil
nach dem Satz von Bayes gilt :

$\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)} \end{eqnarray*}$

Ich hab grade zeitgleich , den Fehler mit nem bisschen anderen Weg gefunden . Ich schau mir deinen Vorlschlag aber trotzdem an .

habe , den Fehler auch in meinem vorherigen Post behoben :

nach dem Satz von Bayes gilt :

$\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)} \end{eqnarray*}$

nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

P(E)= 60 % *85%+35%*60%+5%*20%=73 %

um die Formel zu lösen fehlt mir jetzt noch $\begin{eqnarray*} P(\overline A)=(100-60)%=40% \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(E \cap \overline A)=35%*60%+5%*20%=0,22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(E|\overline A)=\frac{P(E \cap \overline A)}{\overline A}=0,22/0,4 \end{eqnarray*}$

----------> nach einsetzen erhalte ich für $\begin{eqnarray*} P(A| E)=\frac{P(E| A) \cdot P(A)}{P(E| A) \cdot P(A)+P(E|\overline A) \cdot P(\overline A)}=0,69863 \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt stimmen so schätze ich

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