Cauchy-Folgen

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Muriell Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folgen
Meine Frage:
Hallo zusammen!
Wir nehmen in der Uni gerade die Konstruktion reeller Zahlen durch. Reelle Zahlen werden dabei als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen dargestellt. Ich versteh leider nicht, was Cauchy-Folgen überhaupt sind (auch bezogen auf Epsilon,...), weil die Definitionen im Internet immer so mathematische sind. Hoffe auf Hilfe!

Meine Ideen:
*
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folgen
Hallo,
Cauchy Folgen sind etwas salopp gesagt, Folgen, bei denen die Folgenglieder immer näher zu einander rücken. Was genau verstehst du bei der Definition nicht?
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folgen
Ich versteh die mathematischen Ausdrücke wie zu jedem Epsilon Element Q nicht oder, dass der Abstand zwischen zwei Folgegliedern kleiner als Epsilon sein muss...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir denn der Begriff der Folgenkonvergenz bekannt? Das würde beim Verständnis von Cauchyfolgen helfen.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz versteh ich. Das meint ja eine obere Schranke, sprich einen Grenzwert gegen den die Folge konvergiert
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss nicht unbedingt eine obere Schranke, aber wenn du ansonsten mit der Folgenkonvergenz klar kommst, dann solltest du eigentlich auch mit Cauchyfolgen keine Probleme haben.

Im Gegensatz zur Folgenkonvergenz wird hierbei nicht der Abstand von zum potentiellen Grenzwert , also , betrachtet, bei Cauchyfolgen interessiert man sich für den Abstand von zwei Folgengliedern .
 
 
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Sprich, also ist eine Cauchyfolge eine Folge, dessen Grenzwert unbekannt ist und man deshalb den Abstand zwischen 2 Folgegliedern betrachtet? Aber was bringt einem das? bekommt man so nen grenzwert heraus?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Cauchyfolge ist erstmal keine konvergente Folge, d.h. für eine (z.B. rationale) Cauchyfolge muss nicht zwingenderweise ein Grenzwert existieren. Es ist erstmal nur eine Eigenschaft, die eine Folge aufweisen kann.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Also, nochmal:
eine Cauchy-Folge ist eine Folge, die nicht unbedingt konvergieren muss, aber bei der man, falls sie konvergiert, den Abstand zwishcen 2 Folgegliedern misst?
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gehts nur darum, dass ich im Endeffekt versteh, warum jede Cauchy-Folge rationaler Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert und was das genau mit den Chauchy-Folgen zu tun hat...
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo murielle,
glaube ich kann dir helfen, du weisst ja sicher, das es "viel mehr" reelle alls
rationale zahlen gibt, und der "sinn" von der cauchy-folge ist, das man sich
mit einer folge von rationalen zahlen beliebig nah an eine bestimmte reelle
annähern kann, ohne sie je zu erreichen.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ollie3!
Kannst du vielleicht ein Beispiel dafür geben? Und warum kann das eine Cauchy-Folge und keine "normale" Folge? Oder nennt man die Folgen, die sich einer reellen Zahl annähern einfach cauchy-Folgen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo murielle.
natürlich kann auch eine "normale" konvergente folge jede beliebige reelle zahl
als grenzwert haben, aber eine cauchy-folge hat eben andere eigenschaften
als eine normale konvergente folge, weil sie anders definiert ist.
Murielll Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir klar. die Frage ist: Welche Eigenschaften? Mathematisch bringt mir das ja nicht viel sie auswenig zu lernen, wenn ich sie eigentlich gar nicth verstehe mit dem Epsilon und co.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo murielle,
ich glaube du verstehst das mit dem epsilon noch nicht richtig.
Man benutzt immer bei definitionen, wenn sich eine zahl einer anderen zahl
beliebig nah annähert, das der betrag der diffenz von diesen beiden zahlen
kleiner als epsilon ist, dabei soll epsilon immer kleiner werden, also 0,1
0,001, und so weiter.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

also ist eine Cauchy-Folge eine rationale Zahlenfolge, die nicht unbedingt einen Grenzwert beseitzt, aber mithilfe derer man sich ziemlihc nah an reelle zahlen annähern kann durch den abstand von 2 folgegliedern, die nahezu gegen 0 konvergieren?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
naja, das ist zwar immer noch nicht ganz korekt, aber lassen wir das mal so
stehen. Der rest wird dir wahrscheinlich erst später im laufe des studiums
klar werden.
Tschüß, ollie3 Wink
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