Grenzwerte

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31.12.2006, 15:01	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte Es geht wieder einmal um Grenzwerte. Und zwar habe ich Aufgaben aus nem Buch gerechnet und bin mir bei zwei Ergebnissen nicht sicher. 1) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(\frac{x}{3})}{x^2} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{x^3+3x^2}- \sqrt{x^2-2x}) \end{eqnarray}$ Meine Ergebnisse: 1) $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Mein Lösungsbuch sagt was anderes aber das Problem ist das tud es desöfteren und deswegen bin ich mir hier nicht sicher.
31.12.2006, 15:09	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, beide Ergebnisse sind falsch. Gruß, therisen
31.12.2006, 15:26	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte Ich erläutere mal die Nr 1! Du kannst mich ja dann auf meine Fehler hinweisen. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(\frac{x}{3})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(\frac{x}{3})}{x}+\lim_{x \to 0} \frac{sin(\frac{x}{3})}{x}=\frac{0}{0}+ \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ Nun wende ich l`hopital an. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{cos(\frac{x}{3})}{3}+\lim_{x \to 0} \frac{cos(\frac{x}{3})}{3}= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}= \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Wo genau liegt mein Fehler?
31.12.2006, 15:34	rain	Auf diesen Beitrag antworten »
die erste umformung ist inkorrekt. wende doch gleichmal l'hospital an
31.12.2006, 15:43	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich direkt l`hopital anwende bekomme ich ja $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}cos(\frac{x}{3})}{2x}= \frac{\frac{2}{3}}{0} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Das sieht mir ziemlich falsch aus!
31.12.2006, 16:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du den auf die Ableitung mit 2/3cos(x/3)?
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31.12.2006, 16:13	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die kettenregel angewendet. oder ist die richtige Ableitung. $\begin{eqnarray} 2sin(\frac{x}{3})* \frac{1}{3}cos( \frac{x}{3}) \end{eqnarray}$ ?
31.12.2006, 16:15	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd x} \sin^2\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{2}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) \end{eqnarray}$ EDIT: Insbesondere musst du also nochmal die Regel von l'Hospital anwenden. Gruß, therisen
31.12.2006, 16:23	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
@Therisen Da es mir nicht viel bringt was muss ich nun tun? Edit: Alles klar ich werds nochmal machen!
31.12.2006, 16:30	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
So wenn ich nochmal l'hopital anwende bekomme ich raus. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{9}cos(\frac{2x}{3})}{1}= \frac{2}{9} \end{eqnarray}$ Ist das denn jetzt so richtig?
31.12.2006, 16:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz Die 1 ist falsch, 2x abgeleitet gibt 2
31.12.2006, 16:40	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt natürlich dann liegt jetzt der Grenzwert bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ . @Therisen Warum ist $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}sin(\frac{x}{3})cos( \frac{x}{3})= \frac{1}{3}sin( \frac{2x}{3}) \end{eqnarray}$ ??
31.12.2006, 17:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nennt sich Doppelwinkelfunktionen
31.12.2006, 17:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheoreme: $\begin{eqnarray} \sin(2x)=2\cos x~\sin x \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
31.12.2006, 17:34	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke! So kommen wir nun zu meinem zweiten Problem also zum zweiten grenzwert. Ich hab durch einsetzen sehr großer Zahlen 1 als Grenzwert raus. Wie muss ich da vorgehen, da Therisen ja das Ergebnis als falsch bestätigt hat.
31.12.2006, 18:08	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zunächst eine Umformung (ausklammern): $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x^3+3x^2}- \sqrt{x^2-2x} = \frac{\sqrt[3]{1+3/x}- \sqrt{1-2/x}}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Anwenden von l'Hospital liefert sodann (d.h. nach einiger Rechnung): $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[3]{1+3/x}- \sqrt{1-2/x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \left[ \frac{1} {\left(\sqrt[3]{1+3/x}\right)^2} + \frac{1}{\sqrt{1-2/x}} \right] =2 \end{eqnarray}$ EDIT: Optisch aufgewertet Gruß, therisen
31.12.2006, 18:53	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Ich danke dir Therisen.

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