Komplexe Zahlen |
| 07.10.2011, 15:08 | wk5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Komplexe Zahlen Warum besitzt die Funktion n-Lösungen? Und warum benutzt man beim Wurzelziehen die Periodizität der Winkelfunktionen und beim Potenzieren nicht? Wurzelziehen: Warum gilt k=0,1,...n-1? Warum muss man die Periodizität nur beim Wurzelziehen beachten, und warum gibt es diese n Lösungen? Rein formal hat doch x^5 = 1 auch nur eine Lösung oder? Eine andere Frage wäre die Herleitung der Eulerschen Zahl mit wie kommt man da drauf? LG |
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| 07.10.2011, 15:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Komplexe Zahlen
Für k >= n bekommt man wieder auf dieselben Zahlen.
Potenziere mit n und du wirst sehen, daß eben z rauskommt.
Je nach Herleitung ist das gerade die Definition von e. |
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| 07.10.2011, 15:49 | wg5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Hallo! danke für deine antwort! Das mit den doppelten Ergebnissen verstehe ich jetzt, warum aber muss man die periodizität beim Wurzelziehen beachten, aber beim potenzieren nicht? Gibt es für z^5=x nicht auch 5 lösungen? Bei z^5= 1 würde es ja 5 geben... Das mit der eulerschen Zahl weiß ich, ich weiß nur nicht, wie man gerade auf sowas kommt, gibt es da nicht eine bestimmte herleituung für diese spezielle definition? LG |
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| 07.10.2011, 15:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Re
Potenzieren ist immer eine eindeutige Angelegenheit. Zu einem z gibt es beispielsweise immer ein eineutiges z^5 .
Innerhalb der komplexen Zahlen gibt es 5 Lösungen, innerhalb der reellen Zahlen nur eine.
Eine Herleitung in dem Sinne gibt es nicht, allenfalls eine gewisse Motivation. Man betrachtet die Funktion . Für die Funktion gilt, daß die Ableitung exp'(x) = exp(x) ist. Das ist durchaus bemerkenswert und Physiker interessieren sich ganz brennend für sowas. Da interessiert natürlich auch die Zahl exp(1), was dann als natürliche Zahl e definiert wird. |
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| 07.10.2011, 16:44 | wg7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Die potenzfunktion ist ja nur eine inverse der Wurzelfunktion, warum also gibt es dann bei einer sache 5 lösungen für C und bei der anderen nur 1 für C? |
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| 07.10.2011, 17:09 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Re hallo wg7, so kann man das nicht sagen, das, was du "wurzelfunktion" nennst, ist ja in wirklichkeit die lösung der gleichung x^5 - a = 0, und das hat im komplexen eben 5 lösungen, dort gibt es eben keine eindeutig bestimmte 5. wurzel aus a. gruss olllie3 |
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| 07.10.2011, 17:36 | wg8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Hi!!! Danke für deine Antwort! Aber für eine Potenzfunktion in C gibt es nur eine Lösung, oder auch mehrere? Gibt es eigentlich eine Herleitung, für die Anzahl der Lösungen die man in C erhält oder ist das reine Erfahrungssache? Wenn du meinen ersten Beitrag ansiehst, da steht, dass bei Wurzelfunktionen die periodizität berücksichtigt wird und bei potenzfunktionen nicht, weißt du warum genau das so ist? LG |
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| 07.10.2011, 18:34 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Re hallo wg7, und das was du potenzfunktion nennst, das potenzieren einer zahl a ist immer eindeutig, da geht es ja nicht um nullstellen einer gleichung. Und für die anzahl der nullstellen einer funktion, dafür ist der fundamentalsatz der algebra zuständig, man weiss, das ein polynom n-ten grades n nullstelen hat, von denen aber auch mehrere zusammenfallen können. Ja und das mit der periodizität liegt eben daran, wie das funktioniert, wenn man eine komplexe zahl potenziert. |
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| 07.10.2011, 19:37 | wg9 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Ja schon aber eine Potenzfunktion, kann man ja auch als Nullstelle darstellen. Analog ist ja auch die Wurzelfunktion: Und genauso analog ist die Herleitung von Wurzelrechnung und Potenzrechnung in C. (Siehe ganz oben) Einmal dividiert man durch n, einmal mulitpliziert man cos, bzw. sin mit n. Aber nur bei der Wurzelfunktion berücksichtigt man die Periodizität. Das die Wurzel und die Potenzfunktion, obwohl sie einander inverse funktionen sind, haben eine unterschiedliche anzahl von lösungenin C. Das will einfach irgendwie nicht in meinen Kopf gehen 
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| 07.10.2011, 20:04 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schon im Reellen haben Wurzelgleichungen und Potenzgleichungen, die scheinbar äquivalent sind, unterschiedliche Anzahl an Lösungen. hat 2 Lösungen, nämlich 2 und -2. Wenn du aber auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, steht da: , was dir nur die eine Lösung ausgibt. Eine äquivalente Aussage wie obige ist etwa , also ... |
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| 07.10.2011, 20:18 | wg10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Du hast recht eigentlich. Aber warum muss man bei einer Wurzelfunktion in C, die Periodizität beachten, und beim Potenzieren nicht? LG |
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| 08.10.2011, 23:54 | wg8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Ich suche bitte dringend eine Herleitung dafür, warum es genau n verschiedene Lösungen beim Wurzelziehen mit komplexen Zahlen gibt bzw. warum diese n lösungen vom Winkel abhängig sind!!! Siehe oben. Suche ebenfalls eine Herleitung für die Eulersche Identität, aber nicht die aus der Taylor Reihenentwicklung. Danke!! LG |
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