Ebene mit einem Abstand zu Ursprung bilden

07.10.2011, 15:40

Max17

Ebene mit einem Abstand zu Ursprung bilden

Meine Frage:
Hallo,

Aufgabe:
Die Ebene E verlauft durch die Punkte A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und ihr Abstand vom Ursprung beträgt 2 LE.
Bestimmen sie die Ebene in Koordinatenform

Meine Ideen:

Zugbeginn habe ich den ersten $\begin{eqnarray*} \vec{RV}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix}/ \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Um diesen Richtungs-Vektor Kann ich nun die Ebene Rotiren lassen und an zwei stellen hat sie den Abstand 2 zum Ursprung.

Danach habe ich mir einige Bedingungen für den Normalen Vektor überlegt.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right]*\frac{1}{n} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich an dieser stelle nicht weiter mir fehlt ein Ansatz zum lösen des Problems.

Danke im Voraus

07.10.2011, 16:09

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right]*\frac{1}{n} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$

Das würde ja bedeuten, dass der Ursprung auch ein Punkt der Ebene ist und das kann ja nicht sein.

Da du ja eine passende Koordinatenform angeben sollst, würde ich auch allgemein mit ax+by+cz=d ansetzen und mir dann 3 weitere Bedingungen dazu basteln.
Also neben den zwei gegebenen Punkten auch noch eine Bedingung für den Abstand (denk an die HNF).

07.10.2011, 16:18

Max17

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ebene mit einem Abstand zu Ursprung bilden
$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right]*\frac{1}{n} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$

Wir Haben den Hesse erst seit gestern aber das ist doch die HNF um sie gibt an das der abstand zu Urspurng 2 ist.

07.10.2011, 16:39

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass du schon normiert hattest, hatte ich übersehen (falls das n für die Länge des Normalenvektors stehen soll).
Wenn du dasselbe noch mit dem Punkt B machst, hast du ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, welches man allgemein lösen kann.
In dieser Form ist das alles m.E. etwas unübersichtlich, da musst du dich dann selbst durchkämpfen.
Wie es in der übersichtlichen Koordinatenform funktioniert, hatte ich bereits erwähnt.

07.10.2011, 18:13

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde den vorschlag von Bjoern1982 aufgreifen und mit

$\begin{eqnarray*} ax+by+cz=d \end{eqnarray*}$ arbeiten,

wobei a,b und c die komponenten des NORMIERTEN einheitsvektors sind.

damit hast du durch einsetzen von A und B 2 gleichungen.
die dritte: $\begin{eqnarray*} (III)\quad{ } a^2+b^2+c^2=1 \end{eqnarray*}$
eine lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} 6x-18y+z+38=0 \end{eqnarray*}$

07.10.2011, 19:19

Max17

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe nun drei Gleichungen aufgestellt:

1 $\begin{eqnarray*} 2a+3b+4c=0 \end{eqnarray*}$
2 $\begin{eqnarray*} 6a+5b+16c=0 \end{eqnarray*}$
3 $\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2=1 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die erste mal drei genommen und sie von der zweiten subtrahiert, daraus folgt $\begin{eqnarray*} B=C \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Was nicht sein kann sind meine Gleichungen richtig??

07.10.2011, 19:40

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

im prinzip spricht nichts gegen b = c Augenzwinkern

allerdings ist das hier nicht richtig.
denn es gilt ja (HNF mit O)

$\begin{eqnarray*} ax+y+cz=d\to ax+by+cz=\pm 2 \end{eqnarray*}$

daher mußt du die gleichungen (I) und (II) korrigieren,
womit auch b <> c herauskommt

07.10.2011, 19:46

Max17

Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt natürlich noch die Bedingung das die Ebene einen Abstand von zwei zum Ursprung hat.

-1x-3y-4z=0

Wenn ich das GS nun von mein Taschenrechner lösen lasse, gibt es keine Lösung
Wenn ich es ohne die letzte Gleichung mache erhalte ich
X= $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$
Y= $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$
Y= $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$
Was aber noch nicht einhält das der Abstand zum Ursprung 2 sein muss

07.10.2011, 19:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

hast du meinen beitrag von 19:40 gelesen verwirrt

07.10.2011, 19:58

Max17

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahrr Danke super Hilfe

Hier die andere Ebene
2x+2y-z=6

07.10.2011, 22:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Max17
Ahrr Danke super Hilfe

Hier die andere Ebene
2x+2y-z=6

09.10.2011, 16:46

Floppy123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
eine lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} 6x-18y+z+38=0 \end{eqnarray*}$

Ich glaube du hast einen vorzeichen fehler, das richtige ergebniss müste heisen

-6x+18y-z=-38

09.10.2011, 18:21

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Floppy123

Zitat:

Original von riwe
eine lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} 6x-18y+z+38=0 \end{eqnarray*}$

Ich glaube du hast einen vorzeichen fehler, das richtige ergebniss müste heisen

-6x+18y-z=-38

$\begin{eqnarray*} 6\cdot 2-18 \cdot 3+4+38 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6\cdot 6-18\cdot 5+16+38=0 \end{eqnarray*}$

kannst du das von deiner ebene auch sagen smile

Neue Frage »

Antworten »

Ebene mit einem Abstand zu Ursprung bilden

Verwandte Themen