Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen

31.12.2006, 15:37

lonesome-dreamer

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Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen

Hallo,
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n!)^2}{2n!}} \end{eqnarray*}$ soll auf Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden.

Mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n!)^2}{2n!} \end{eqnarray*}$
Quotientemkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left |{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|}=\lim_{n \to \infty}{\left|{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2n!}{(2n+2)! \cdot (n!)^2}}\right|} \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht, wie man da am besten weiter rechnet.

Hätte da jemand nen Tipp für mich?

Gruß
Natalie

31.12.2006, 16:05

kiste

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Schreib mal die Fakultäten aus dann kannst du kürzen

31.12.2006, 16:33

SilverBullet

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left |{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|}=\lim_{n \to \infty}{\left|{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2n!}{(2n+2)! \cdot (n!)^2}}\right|} \end{eqnarray*}$

Muss es nicht eher :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left |{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|}=\lim_{n \to \infty}{\left|{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2n!}{(2n+1)! \cdot (n!)^2}}\right|} \end{eqnarray*}$

heißen ?

31.12.2006, 16:34

kiste

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$\begin{eqnarray*} 2(n+1) = 2n + 2 \end{eqnarray*}$

31.12.2006, 16:40

SilverBullet

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ahh super

Big Laugh

Danke

31.12.2006, 16:48

lonesome-dreamer

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Irgendwie komm ich da nicht weiter.
Viel kürzen kann ich nämlich nicht.
So sieht's jetzt aus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left|{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2}{(2n+2)! \cdot n!}}\right|} \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht, wie man die anderen Fakultäten kürzen kann.

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31.12.2006, 16:59

SilverBullet

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Vielleicht hilft das ja.

(2n+2) = 2(n+1)

31.12.2006, 17:02

Calvin

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Auf die Schnelle sehe ich noch eine Sache zu kürzen: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$

Aber mehr... verwirrt

verwirrt

@SilverBullet (2n+2)=2(n+1) bringt nichts, weil die Fakultät noch hintendran steht.

Edith hat noch eine Frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n!)^2}{2n!} \end{eqnarray*}$

Bezieht sich die Fakultät im Nenner nur auf das n oder auf 2n? Im zweiten Fall müsstest du schreiben $\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ . Außerdem hättest du dann die erste n! nicht kürzen dürfen. Im ersten Fall hast du für das Quotientenkriterium falsch eingesetzt. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} 2\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die Aufgabe aber trivial Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2006, 17:05

SilverBullet

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Stimmt sry LOL Hammer

LOL Hammer

31.12.2006, 17:07

Calvin

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Habe mit viel Verspätung noch was bei meinem letzten Beitrag ergänzt smile

smile

31.12.2006, 17:16

Calvin

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RE: Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen
So, jetzt nochmal in aller Ruhe smile

smile

Ich habe die Aufgabe jetzt durchgerechnet und es sind zwei Fehler drin. Der erste ist vermutlich der Formale Fehler mit der Klammer.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die fehlenden Klammern beim Einsetzen ins Quotientenkriterium ergänze, ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left |{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|}=\lim_{n \to \infty}{\left|{\frac{((n+1)!)^2 \cdot (2n)!}{(2n+2)! \cdot (n!)^2}}\right|}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)!\cdot (n+1)!\cdot (2n)!}{(2n+2)!\cdot n!\cdot n!} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du kürzen. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$ Und was ist $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$

31.12.2006, 18:26

lonesome-dreamer

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Zitat:

So, jetzt nochmal in aller Ruhe smile

smile

Ich habe die Aufgabe jetzt durchgerechnet und es sind zwei Fehler drin. Der erste ist vermutlich der Formale Fehler mit der Klammer.

Nee, die Aufgabenstellung stimmt so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n!)^2}{2n!}} \end{eqnarray*}$

Die Fakultät bezieht sich also nur auf das n.

31.12.2006, 18:38

Calvin

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Dann kürze mal in der Summe ein $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ und schau dir die Folgenglieder nochmal an. Die Aufgabe ist damit wirklich trivial.

31.12.2006, 18:38

lonesome-dreamer

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Kommando zurück.
Es war ein Fehler auf dem Aufgabenblatt.
Es muss doch so heißen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} \end{eqnarray*}$

31.12.2006, 18:41

Calvin

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OK, dann schau dir mein letztes Posting nochmal an. Ich verabschiede mich jetzt zur alljährlichen Format-your-Brain-Party Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß und guten Rutsch

31.12.2006, 18:54

lonesome-dreamer

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Dann komm ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Dann für den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\frac{n+1}{2(2n+1)}}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}<1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe konvergent, was mit der Lösung auch überein stimmt Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank euch allen.
Und einen Guten Rutsch. Bis nächstes Jahr. Wink

Wink

Gruß
Natalie

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