Mengen-Beweise |
| 07.10.2011, 19:50 | evica90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mengen-Beweise Seien X_{i}, i\in I und Y_{i},i\in I Familien von Mengen. Beweisen Sie (\bigcup (X_{i}\cup Y_{i})^{c} = (\bigcap X_{i}^c)\cap (\bigcap Y_{i}^c). Meine Ideen: Leider hab ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll, bzw was Y, I, i bedeuten... Würde mich freuen, wenn irgendwer eine einfache Erklärung hätte. Danke! Lg, Eva |
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| 07.10.2011, 19:57 | evica90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Mengen-Beweise Sorry, hier nochmal lesbar 
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| 08.10.2011, 17:42 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, muss die Aufgabe vielleicht lauten (zur Veranschaulichung eine eckige Klammer): Nun weiß ich nicht genau, wo Du Schwierigkeiten hast. Daher stochere ich ein wenig herum: Die Gleichheit von zwei Mengen M1 und M2 kann man zeigen durch: 1. Weg: Wenn ein x in M1 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch in M2 enthalten ist. Und: Wenn ein x in M2 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch in M1 enthalten ist. Diese beiden Richtungen muss man nachweisen. Analog folgt ebenfalls eine Gleichheit, wenn man alternativ einer der beiden folgenden Wege zeigt: 2. Weg: Wenn ein x in M1 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch in M2 enthalten ist. Und: Wenn ein x nicht in M1 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch nicht in M2 enthalten ist. 3. Weg: Wenn ein x nicht in M1 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch nicht in M2 enthalten ist. Und: Wenn ein x nicht in M2 enthalten ist, folgt daraus, dass x auch nicht in M1 enthalten ist. Nehmen wir den 1. Weg: Auf der "linken Seite" (wenn die Aufgabe so lautet, wie ich am Anfang notiert habe) liegt das Komplement der Vereinigung von Mengen M(i) vor, wenn wir M(i) darstellen als: Wenn nun ein x in der linken Menge liegt, muss x im Komplement der Vereinigung der Mengen M(i) liegen, was bedeudet, dass x nicht in der Vereinigung der Mengen M(i) liegt. Was folgt daraus? usw. Gruß Christian |
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| 09.10.2011, 13:25 | evica90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Folgt daraus, dass X nicht in Xi liegt und dass X auch nicht in Yi liegt? |
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| 10.10.2011, 00:35 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, zusammenfassend mache Dir folgendes klar: i) Es sei eine Vereinigung von Mengen M(i) gegeben. Wenn x in dieser Vereinigung enthalten ist, gibt es mindestens eine Menge M(i), in der x enthalten ist. Wenn x nicht in dieser Vereinigung enthalten ist, dann ist x in keiner Menge M(i) enthalten. ii) Es sei ein Durchschnitt von Mengen M(i) gegeben. Wenn x in diesem Durchschnitt enthalten ist, dann ist x in jeder Menge M(i) enthalten. Wenn x nicht in diesem Durchschnitt enthalten ist, dann gibt es mindestens eine Menge M(i), in der x nicht enthalten ist. In diesem Fall ist also für jedes "i" das gegebene Element x nicht enthalten in Gruß Christian |
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