1000 kugeln

07.10.2011, 20:57

weisbrot

1000 kugeln

so, der rätselmarathon geht weiter! diesmal was ganz einfaches (vielleicht auch schon etwas bekannt):

in einem behälter sind 500 weiße und 500 schwarze kugeln.
es wird nach und nach gezogen: immer 2 kugeln, die nicht zurückgelegt werden; außerdem wird nach jedem zug eine kugel in den behälter gelegt:
sind die in einem zug gezogenen kugeln gleichfarbig, wird eine weiße kugel in den behälter gelegt, sonst wird eine schwarze kugel in den behälter gelegt.

die frage: welche farbe hat die letzte im behälter befindliche kugel (nachdem also sooft gezogen wurde, dass nur noch eine kugel im behälter ist); natürlich mit beweis.

viel spaß!

07.10.2011, 21:06

Math1986

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RE: 1000 kugeln
Erster Ansatz: Es ist zumindest denkbar, dass an Ende eine weiße Kugel in der Urne liegt:

Man zieht im ersten Zug zwei schwarze Kugeln und legt dafür eine weiße Kugel zurück.
Das ganze macht man so lange, bis man nur noch weiße Kugeln in der Urne hat, dann zieht man automatisch nur weiße Paare und legt dafür jeweils eine weiße Kugel zurück.
Damit hätte man am Ende eine weiße Kugel.
Das ganze geht natürlich auch mit Variationen dieser Zugfolge, bspw. abwechselnd schwarze und weiße Pärchen.

Da deine Fragestellung aber eine Eindeutigkeit impliziert folgere ich dadurch, dass am Ende eine weiße Kugel in der Urne liegen muss Zunge

07.10.2011, 21:13

weisbrot

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RE: 1000 kugeln

Zitat:

Da deine Fragestellung aber eine Eindeutigkeit impliziert folgere ich dadurch, dass am Ende eine weiße Kugel in der Urne liegen muss

da muss man fairerweise sagen, dass du mich da intelektuell überlistet hast smile

sagen wir mal, du sollst gleichzeitig zeigen, dass es immer eine kugel von genau dieser farbe ist. lg

07.10.2011, 21:43

Math1986

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RE: 1000 kugeln
Also gut : Der Beweis dafür, dass es eine weiße Kugel seien muss:
Wiederspruchsbeweis:
Angenommen, die letzte Kugel ist schwarz:
(*) Dann muss vorher eine schwarze und eine weiße Kugel in der Urne gelegen haben:
Das ist aber ein Wiederspruch, denn:
Betrachten wir die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne:
Am Anfang sind es 500:
Nun gibt es 3 mögliche Züge:
WW -> Ich lege eine weiße Kugel in die Urne -> Die Anzahl schwarzer Kugeln bleibt gleich
WS -> Ich lege eine schwarze Kugel in die Urne -> Die Anzahl schwarzer Kugeln bleibt gleich.
SS -> Ich lege eine weiße Kugel in die Urne -> die Anzahl schwarzer Kugeln verringert sich um 2.
Es liegt also stets eine gerade Anzahl schwarzer Kugeln in der Urne, was ein Wiederspruch zu (*) darstellt.

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