Es geht um NST (Funktionen in Sachzusammenhängen)

07.10.2011, 21:35

SissixX

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Es geht um NST (Funktionen in Sachzusammenhängen)

Meine Frage:
Ich gehe in die 12 und verzweifle an diese Aufgabe. Ich weiß nicht wie ich bei der b) weitermachen soll. Aber hier nun zuerst die Aufgabenstellung

Die Erhöhung E der Aktivität der NK-Zellen (in %) durch Lektinpräparate hängt entscheidend von der Dosis x (in µl pro kg Körpergewicht) ab.
Sie kann näherungweise durch

E(x)=5/9*(85-8x-50/x); x größer gleich 5/8

beschrieben werden.

a) Bei welcher Dosis ist die Wirkung am größten?
b) Ab welchser Dosis wirkt das Präparat sogar schädlich?

Meine Ideen:
Ich denke, bei der b sind damit die Nullstellen gemeint. Das größte Problem bereitet mir das Lösen der Funktionsgleichung wegen dem -50/x.

Hier mein halber Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{5}{9} (85-8x-\frac{50}{x} )<br /> 0= \frac{5}{9} (85-8x-50x^{-1} )<br /> = \frac{425}{9} -\frac{40}{9} x-\frac{250}{9}x^{-1} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle frage ich mich nun, wie man die beiden letzten Zahlen iwie zusammenfassen kann..? Generell, was nun zu tun ist. Das ist ja keine quadratische Gleichung und ich wüsste nicht wie ich die Gleichung sonst lösen könnte. Lg

07.10.2011, 21:42

sulo

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RE: Es geht um NST (Funktionen in Sachzusammenhängen)
Du kannst dir eine quadratische Gleichung draus basteln, schließlich steht auf der linken Seite der Gleichung eine 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp: Multipliziere mit x.

smile

smile

edit: Aus dem gleichen Grund kannst du die 5/9 vor der Klammer bei der Bestimmung der Nullstellen wegfallen lassen (multipliziere die Gleichung mit 9/5). Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2011, 22:21

SissixX

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Sorry Ich weiß nicht genau wie, hab echt null Ahnung wieso man mit dem Kehrwert multipliziert? Wenn, dann Inhalt der Klammer mal 5/9, oder?

Es gibt auch einen anderen Lösungsweg, den ich eingeschlagen hatte. Der ist ohne dem -1 im Exponent aber auch da komm ich nicht weiter, weil das x im Nenner eingebunden ist. Dennoch denke ich dieser Weg scheint der einfachere zu sein (Bei meiner Gleichung mit dem -1 habe ich richtige Werte bei a) rausbekommen, also kann man theoretisch auch damit zu den Nullstellen kommen^^ Aber das könnten wir ja als 2.te Variante ausrechnen) Will wenigstens einen haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

2.ter Lösungsvorschlag: Ohne -1 im Exponent

$\begin{eqnarray*} <br /> 0= \frac{5}{9} (85-8x-\frac{50}{x} )<br /> 0= \frac{425}{9}- \frac{40}{9}x-\frac{250}{9x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mit 9x multipliziere, dann ergibt sich auf der linken Seite 0*9x=0 ?
Ist das richtig?

Danke für deine Hilfe smile

smile

07.10.2011, 22:28

sulo

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Zunächst mal: Ich wollte dich nicht verwirren mit dem edit. Ich meinte nur Folgendes: Wenn du mit dem Kehrbruch multiplizierst, verschwindet der Bruch (er wird 1):

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{5}{9} (85-8x-50x^{-1} )~|~ \cdot \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= (85-8x-50x^{-1} ) \end{eqnarray*}$

Einen ähnlichen Weg schlägst du jetzt ein, wenn du vor das x die 9 setzt: Jetzt fällt der unpraktische und unnötige Nenner weg.
(Im zweiten Schritt könntest du durch 5 teilen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Deinen ersten Lösungsweg kann ich nciht ganz nachvollziehen, aber der zweite ist erfolgversprechend. Freude

Freude

Rechne da mal weiter. smile

smile

07.10.2011, 22:51

SissixX

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Okay, dann mach ich da nun weiter. smile

smile

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=\frac{425}{9} -\frac{40}{9} x-\frac{250}{9x} |*9x<br /> <br /> 0=425x-40x-250<br /> 0=385x-250 |+250<br /> 250=385x |:385<br /> x=0,6493506494<br /> \end{eqnarray*}$

Laut einer Lösung, die ich auf einer Website entdeckt habe stimmt sie...aber diese Funktion hat 2 Nullstellen. Was habe ich nur falsch gemacht? Was mich wundert, ist, dass einmal das x nach dem Bruch steht (mal x) und dass im letzen Bruch es mit der 9 zusammensteht. Macht aber keinen Unterschied,oder?

Hm..würde mich um einen Tipp erfreuen smile

smile

07.10.2011, 22:54

SissixX

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Oh, ich glaube ich habe da den Fehler entdeckt. geschockt

geschockt

-40/9*x...|*9x

das ergibt doch x²

?

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07.10.2011, 22:57

SissixX

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Das würde bedeuten:

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=\frac{425}{9} -\frac{40}{9} x-\frac{250}{9x} |*9x<br /> <br /> 0=425x-40x²-250<br /> 0=-40x²+425x-250<br /> 0=x²-10,625x+6,25<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Und nun p-q-Formel.

07.10.2011, 22:58

sulo

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Zitat:

Original von SissixX
$\begin{eqnarray*} <br /> 0=\frac{425}{9} -\frac{40}{9} x-\frac{250}{9x} |*9x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=425x-40x-250 \end{eqnarray*}$

Hmm, hier ist schon ein Fehler. Was ist $\begin{eqnarray*} -\frac{40}{9} x *9x \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der Tat gibt es 2 Lösungen, wobei die eine ähnlich deiner Lösung ist. Sie ist aber nicht ganz richtig.

smile

smile

edit: Du hast es selbst gemerkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2011, 23:01

SissixX

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Hm, bei mir kommt da -40 raus verwirrt

verwirrt

Auch wenn ich den Bruch in Klammer setze

07.10.2011, 23:02

sulo

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Dann hast du dich verrechnet, denn die Gleichung stimmt.

0 = x² - 10,625x + 6,25 Freude

Freude

07.10.2011, 23:07

SissixX

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Jippie!

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=x²-10,625x+6,25<br /> \end{eqnarray*}$

In P-q-Formel eingesetzt erhalte ich folgende x-Werte:
x1=10
x2=5/8

07.10.2011, 23:08

sulo

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Das ist richtig, das sind die Nullstellen. Hier die Grafik der Funktion:

smile

07.10.2011, 23:11

SissixX

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Nun zur Frage...
b) Ab welcher Dosis wirkt das Präparat sogar schädlich?

Da es an der Stelle x=5/8 steigt, würde ich sagen, dass es ab der zweiten Nullstelle "schädlich" sein kann, weil es ab da in den Minusbereich eingeht (bzw. es gibt keine Aktivität mehr oder? Bei Dosis x<0)

Ab einer Dosis von 10 Mikroliter (pro kg Körpergewicht)wirkt das Präparat schädlich.

07.10.2011, 23:19

sulo

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Ja, das würde ich auch so sehen Freude

Freude

, aber um ganz sicher zu sein, bräuchte man eigentlich mehr Hintergrundinformationen.

Wenn wir aber davon ausgehen, dass y = 0 die Ausgangsleistung ist, dann kann man das Unterschreiten der Ausgangsleistung schon als Schädigung ansehen.
Wie gesagt, dass ist ein bisschen Definitionssache.

Hast du eigentlich Aufgabe a) gelöst?

07.10.2011, 23:36

SissixX

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Ja, die a habe ich schon gelöst
und zwar so:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{5}{9} (85-8x-\frac{50}{x} )<br /> 0=\frac{5}{9} (85-8x-50x^{-1} ) <br /> 0=\frac{425}{9} -\frac{40}{9} x-\frac{250}{9} x^{-1}<br /> f'(x)=\frac{250}{9}x^{-2} -\frac{40}{9} <br /> f''(x)=-\frac{500}{9} x^{-3}<br /> <br /> f'(x)=0<br /> 0= \frac{250}{9}x^{-2} -\frac{40}{9} |+\frac{40}{9}<br /> \frac{40}{9}=\frac{250}{9}x^{-2} |\sqrt[-2]{x} <br /> x1,2= 2,5<br /> <br /> f''(2,5)=\frac{-32}{9} <0 \Rightarrow Hp<br /> f(2,5)=25 \end{eqnarray*}$

A: Bei einer Dosis von 2,5 Mikroliter pro kg Körpergewicht ist die Wirkung mit 25% Erhöhung der Aktivität der NK-Zellen am größten.

zu a) noch: Welches ist die optimale Dosis für eine Person mit 85kg Körpergewicht?
2,5*85=212,5 Mikroliter Dosis bei 85 kg Körpergewicht.

Eine Frage hätte ich noch, stimmt das (wenn ich $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ dort benutze)

$\begin{eqnarray*} <br /> 0= \frac{250}{9}x^{-2} -\frac{40}{9} |+\frac{40}{9}<br /> \frac{40}{9}=\frac{250}{9}x^{-2} |\sqrt[-2]{x} <br /> x_{1,2} = \pm 2,5<br /> \end{eqnarray*}$

07.10.2011, 23:42

sulo

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Ist alles richtig Freude

Freude

.

Sowohl die 2,5 ml/ kg Körpergewicht, als auch die 212,5 ml für einen 85 kg Mann und auch die Darstellung mit dem Plusminus (weil du ja die Wurzel ziehst). Hier müsstest du nur schauen, ob der Definitionsbereich eingeschränkt ist, so dass nur eine Lösung gültig ist.

smile

smile

07.10.2011, 23:46

SissixX

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Ja stimmt, demnach würde die -2,5 nicht für die Aufgabenstellung gebraucht (da x größergleich 5/8)

Viiielen Dank für deine Hilfe smile

smile

Das hat mir echt sehr geholfen. Nun habe ich von dieser Aufgabe so einiges Brauchbares gefunden, dass mir in Zukunft sicher nützlich sein wird.

z.B. dass der Faktor vor der Klammer wegfällt, wenn man ihn mit dem Kehrwert multipliziert (Kann man theoretisch auch schreiben: Man teilt durch den Bruch? Weil dann fällt der auch weg,oder?)

Einen schönen Abend Dir noch smile

smile

07.10.2011, 23:48

sulo

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Ja, du teilst durch den Bruch = du multiplizierst mit dem Kehrwert. Freude

Freude

Das geht aber nur dann problemlos, wenn die Gleichung = 0 lautet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir auch noch einen schönen Abend. Wink

Wink

08.10.2011, 11:04

SissixX

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Ich habe wieder ein Problem!
Wenn ich nun die Aufgabe a) mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x²-10,625x+6,25 \end{eqnarray*}$ rechne, kommen falsche Wert heraus. Ich dachte mir, jetzt wo ich diese quadratische Gleichung habe rechne ich damit mal die Aufgabe a) neu, weil ich schauen wollte, ob es einfacher ist mit oder ohne negative Exponenten.

Diese Aufgabe macht mir echt zu schaffen
Ich will damit das Extremum herausfinden, leider kommt da das falsche Ergebnis raus, habe ich falsch abgeleitet?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x²-10,625x+6,25<br /> f'(x)=2x-10,625<br /> f''(x)=2<br /> <br /> f'(x)=0 \wedge f''(x) <0 \Rightarrow Hp.<br /> <br /> 0=2x-10,625 |+10,625<br /> 2x=10,625 |/2<br /> x=5,3125<br /> \end{eqnarray*}$

Was hab ich nur falsch gemacht?
Wieso kommt mit der SELBEN Gleichung falsche Extremum aber richtige Nullstellen heraus o.O?

Auf einer Seite hab ich gesehen, dass da mit Quotientenregel gerechnet wurde....(von Anfang an direkt die Ableitung gebildet,Faktor vor Klammer blieb)die Regel kenne ich nicht. Wenn die hier notwendig ist, könntest du mir sie erklären?

Danke schonmal!!

08.10.2011, 16:22

sulo

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Wir haben ja die ursprüngliche Gleichung: $\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{5}{9} (85-8x-\frac{50}{x} ) \end{eqnarray*}$

Diese ist nicht identisch mit der anderen: $\begin{eqnarray*} f(x)=x²-10,625x+6,25 \end{eqnarray*}$

Du kannst die erste in die zweite umwandeln, wenn du die Nullstellen bestimmen willst, weil dann gilt E(x) = 0 und du munter mit 9/5 multiplizieren darfst.
Dadurch erhältst du eine neue Funktionsgleichung, die aber die gleichen Nullstellen hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum Vergleich mal eine Grafik mit beiden Funktionsgraphen:

smile

08.10.2011, 17:00

SissixX

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Ah okay, also dadurch, dass man den Bruch "wegmultipliziert" hat, ist eine neue Funktion enstanden, die auf irgendeiner Weise gespiegelt ist. Ist das eigentlich mathematisch korrekt, wenn man mit einer neuen Funktion die Nullstellen ausrechnet. Zählt ja nur das Ergebnis, oder? Darf man das nur bei Nullstellen so machen? (Wenn es dort eine Zahl vor einer Klammer gibt)

So gesehen war die Rechnung ja korrekt, also ich hätte nicht gemerkt, dass ich durch Umformen eine neue Gleichung erhalten habe. Dachte, es wäre einfach eine anders geschriebene,aber im Prinzip selbe Gleichung, da wir immer 0=... geschrieben haben, sodass wir immer noch vom selben f(x) sprechen.

Wie geht man dann nun vor bei so einer Aufgabe..? Was würdest du mir empfehlen? Mir wäre es in der Klausur nicht aufgefallen, dass ich da ne neue Gleichung habe.

08.10.2011, 17:03

SissixX

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Weil ich fände es aufwändiger, für die Nullstellenberechnung eine Funktion auf eine bestimmte Weise umzuformen und bei der Extrema und Wendestellenberechnung die Ausgangsfunktion "wieder" umzuformen. Wäre ein doppelter Schritt. Aber normalerweise mache ich den nur einmal sodass ich da alle 3 Ableitungen stehen habe, die für alle Rechnungen gelten. Rat ist gefragt geschockt

geschockt

08.10.2011, 17:07

SissixX

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Wie kommt es eigentlich, dass eine neue Funktion entstanden ist?
Wir wollten ja nur die Klammer nicht mehr haben und haben es mathematisch korrekt hingekriegt, dass es ausmultipliziert ist. Unsere f(x)-Funktionsgleichung ist doch eigentlich nichts anderes, als dass es nur nicht mehr aus einem Faktor*Klammer besteht. Denn das haben wir ja aufgelöst......o.o

08.10.2011, 17:16

sulo

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Naja, wenn du die Nullstellen bestimmst, setzt du die Gleichung = 0 und dann kannst du vereinfachen, indem du teilst oder multiplizierst.

Letzten Endes erhältst du x1 = ...., x2 = ...., und das ist aus der Gleichung entstanden. Aber es ist eben nicht mehr die ursprüngliche Gleichung.

smile

smile

08.10.2011, 17:19

SissixX

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Ah jetzt verstehe ich, die Rechnung war schon sozusagen die Berechnugn der Nullstellen, da wir es =0 gesetzt haben. Okay jetzt hab ichs gebongt. Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.10.2011, 17:22

sulo

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Prima.

Freude

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