Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel

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07.10.2011, 21:39	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel Guten Abend! Ich hab hier eine Aufgabe in welcher der Extremwert der Funktion f(x) ermittelt werden soll. Dazu soll man als hinreichende Bedingung den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung nehmen. $\begin{eqnarray} f(x)=x^4-6x^2+1 \end{eqnarray}$ Ableitungen: $\begin{eqnarray} f'(x)=4x^3-12x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=12x^2-12 \end{eqnarray}$ Jetzt setzt ich ja die 1. Ableitung = 0 (notwendige Bedingung) $\begin{eqnarray} 4x^3-12x=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Und jetzt muss man ja für diese Nullstellen untersuchen, ob die 1. Ableitung da einen Vorzeichenwechsel hat. Setz ich dann jetzt praktisch einfach die "umliegenden" Stellen ein? Also: $\begin{eqnarray} f'(-0,1)=1,199 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(0,1]=-1,196 \end{eqnarray}$ ==> Also ein Vorzeichenwechsel bei 0; Wechsel von +/- --> Hochpunkt $\begin{eqnarray} f'(3,9)=190,476 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(4,1)=226,484 \end{eqnarray}$ ==> Kein Vorzeichenwechsel bei 4 Also ich glaub rein logisch ist das richtig, oder? Aber es sieht nicht so aus als wäre das der korrekte mathematische Weg Oder wie krieg ich das einfacher raus? Und dann muss ich doch nur noch 0 in f(x) einsetzen um den y Wert zu bekommen, oder? $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ Also ist der Extremwert der Funktion bei P(4\|1)???
07.10.2011, 21:48	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel $\begin{eqnarray} f'(3,9)=190,476 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(4,1)=226,484 \end{eqnarray}$ ==> Kein Vorzeichenwechsel bei 4 " ? aber bei x=4 ist doch gar kein Extremum? du hast für die beiden noch zu untersuchenden Extrema oben doch schon die richtigen x-Werte.. also.. und ja, du kannst für den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung zB praktisch einfach die "umliegenden" Stellen untersuchen.. nebenbei: durch richtige Interpretation des Vorzeichenwechsels kannst du auch noch eine Information über die Art des Extremums bekommen (Minimum - oder Maximum ..) -
07.10.2011, 21:51	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Hupala, ich hab 2 Aufgaben vermischt, sorry. Die Stelle 4 war von der Aufgabe b in dem Buch und die Aufgabe die ich gepostet hab war aber a. Und das kreidet einem auch keiner in ner Leistungskurs Arbeit an wenn man das so macht? Oder gibts da nen "professionelleren" Weg?
07.10.2011, 21:58	original	Auf diesen Beitrag antworten »
- meinst du mit "professionelleren" Weg die Hinzunahme der Untersuchung der zweiten Ableitung an den betreffenden Stellen? -
07.10.2011, 22:00	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls man das so tut um den Vorzeichenwechsel herauszufinden ja. Ich hab davon ja absolut keine Ahnung, weil ich nie Mathe Leistungskurs hatte und das jetzt nur aus dem Buch und dem Internet lerne
07.10.2011, 22:02	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hab ich mit der hinreichenden Bedingung eh noch Probleme. Zum Beispiel bei der nächsten Aufgabe steht jetzt: Verwenden Sie für die hinreichende Bedingung die zweite Ableitung. Aber was mach ich dann mit der zweiten Ableitung? Also das steht ja jetzt nicht sowas wie Vorzeichenwechsel, oder gleich 0 setzen... Beispielaufgabe ist hier: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2-5x+5 \end{eqnarray}$ Ableitungen: $\begin{eqnarray} f'(x)=2x-5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=2 \end{eqnarray}$ Kann es sein, dass f''(x) < 0 sein muss?
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07.10.2011, 22:09	original	Auf diesen Beitrag antworten »
- http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendisku...eiten_Ableitung -
07.10.2011, 22:12	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dankeschön! Hatte es gerade im Buch gefunden! Aber danke fürs raussuchen, ich les mir das auch auf jeden Fall alles noch mal durch. Schaden kanns ja nix
07.10.2011, 22:18	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bezog auf meine Aufgabe: x=2,5 da $\begin{eqnarray} f''(x)=2 \end{eqnarray}$ ist >0 daher lokales Minimum Aber mache ich das nicht immer so? Also ich setzte doch immer in die f''(x) ein um zu gucken ob es ein Maxima oder Minima ist?

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