Ansatz zur Berechnung v. Eigenwerten einer Abbildung

Neue Frage »

mwinter Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz zur Berechnung v. Eigenwerten einer Abbildung
Nabend zusammen,

war die letzten beiden Schulstunden nicht anwesend und habe deswegen die Herleitung des Verfahrens nicht mitbekommen. Das Verfahren selber (Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen) ist mir bekannt und ich könnte es auch anwenden, aber mich interessiert wie man auf dieses Verfahren kommt.

Der Ansatz müsste ja in etwa so aussehen:



Schließlich verändert der Eigenvektor nicht seine Richtung, sondern wird lediglich durch den Streckfaktor in seiner Länge verändert. Richtig?

Aber wie kommt man schließlich auf
?

Hoffe meine Fragestellung ist verständlich. Danke schonmal!

Lg,
mwinter smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz zur Berechnung v. Eigenwerten einer Abbildung
Forme die Gleichung um:







Damit ein Eigenvektor vorliegt, muss das GLS eine Lösung ungleich 0 besitzen.
Das kann aber nur dann sein, wenn die Matrix
singulär, also ihre Determinante gleich Null ist.



EDIT: Tipfehler korrigiert (s.u.)
mwinter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz zur Berechnung v. Eigenwerten einer Abbildung
Zitat:
Original von Helferlein
Forme die Gleichung um:







Soweit verstehe ich das. Aber wie entsteht aus dann letztendlich ?

Wie zieht man denn von einer Matrix einen Faktor ab?

Danke für deine Hilfe!

Lg
hannes_mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz zur Berechnung v. Eigenwerten einer Abbildung
Hallo
also wenn ich das recht verstehe meint Helferlein hier mit I die einheitsmatrix also eine 2x2 matrix. Denn faktor multiplizierst du zunächst mit der matrix I und dann ziehst du die zwei matrizen ,der selben form, voneinander ab
somit kommst du auf M.
wir wollen ja dass es eine lösung gibt bei der v nicht null ist
dass geht nur wenn det(M)= 0
mwinter Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, wenn es nur in kleinen Schritten vorwärts geht, aber hab trotzdem noch ne Frage. Also bis hier hin habe ich es verstanden:

Der Ansatz lautet



<->

<->

Aber auf der linken Seite würde doch jetzt ein Vektor rauskommen und auf der rechten Seite steht 0. Wie kann das sein?

Bzw. wie kommt jetzt die Determinante der Matrix ins Spiel?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Null rechts steht für den Nullvektor.

Und ich korrigiere einen Fehler von oben: Die Determinante muss natürlich gleich Null sein, damit es eine Lösung ungleich Null gibt.
 
 
hannes_mathe Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich dich recht verstehe ist dein problem warum man da überhaupt die determinante braucht
rechne doch mal M*v aus.
du kannst das ganze dann als 2 homogene gleichungen schreiben
überlege dir nun wann du für v ne lösung rausbekommst
es gilt: sind die Zeilenvektoren deiner Matrix M linear unabhängig, so ist die einzige lösung genau v=0 (Vektor) das wollen wir aber gerade nicht.
wir wollen dass die zeilenvektoren linear abhängig sind
dass ist genau dann der fall wenn die detM=0 gilt
ich hoffe dass hilft dir etwas weiter
mwinter Auf diesen Beitrag antworten »

Nach kurzem Emailkontakt mit meinem Lehrer weiß ich jetzt wo der Grund für mein Verständnisproblem lag. Und zwar hatte ich in meinen Unterlagen zu homogenen Gleichungssystemen stehen, dass sie nicht lösbar sind, wenn die Determinante 0 ist. Aber eigentlich sollte es "nicht eindeutig/trivial lösbar" heißen.

Jetzt ergeben eure ganzen Hilfestellungen auch viel mehr Sinn für mich.

Der Schritt von diesem homogenen LGS



bis zu



ist dann also so zu erklären: Als triviale Lösung hat das obere Gleichungssystem den Nullvektor. Wenn jedoch die Determinante der Matrix gleich null ist, so gibt es noch weitere Lösungen. Das sind dann die Eigenwerte der Abbildung, über die sich schließlich die Eigenvektoren bestimmen lassen.

Richtig?

Danke jedenfalls schonmal für eure Hilfe. Sehr verständlich erklärt! Hätte es vermutlich früher nachvollziehen können, wenn ich nicht den Fehler in meinen Unterlagen gehabt hätte.


Lg :-)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz.
Das für das die Matrix singulär wird, ist ein Eigenwert und die Lösung der Matrixgleichung sind die Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »