Körperideale |
| 08.10.2011, 01:29 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Körperideale Ich bins nochmals. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit 0 < dim V < oo. Dann hat R:=End(V) genau 2 Ideale: 0 und R selbst. Meine Frage: Gilt die Aussage auch für dim V = oo ? Gruss und gute Nacht, Leo |
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| 08.10.2011, 02:03 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Körperideale PS: Die obere Behauptung mit den 2 Idealen folgt direkt aus dem Idealkorrespondenz-Satz ( mathi.uni-heidelberg.de/~weissaue/vorlesungsskripte/ALGEBRA.pdf ), oder? |
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| 08.10.2011, 08:30 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Körperideale hallo leo, ich vermute mal sehr stark nein, das der vektorraum endlich ist, wird eine wichtige vorraussetzung sein, im unendlichdim. räumen ist immer allles anders. gruus ollie3 |
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| 08.10.2011, 09:18 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falls Satz 3.2 aus dem verlinkten Skript gemeint ist, so sehe ich nicht, wie die obere Aussage daraus folgen soll. Aber man weiß doch, dass wenn . Dann ist die zu zeigende Aussage aber einfach nur lineare Algebra (Gauß-Algorithmus, Umformungsmatrizen). |
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| 08.10.2011, 11:36 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Statements! @ollie3: Das hab ich auch gedacht (man fordert ja selten etwas, was nicht unbedingt nötig ist...) Aber lässt sich das zeigen? Ich habe einfach gelernt, dass der Vektorraum jeweils endlich sein muss, um überhaupt Aussagen wie jene von jester. machen zu können. Aber wie's im Unendlichen aussieht...keine Ahnung. @jester. : Danke für den Input. Ich habe das ausser Acht gelassen, dass deine Gleichung gilt. Allerdings nicht grundlos: - Wieso darf man n=dim V annehmen? (ist das OBdA ?) - Wie kannst du mit diesen Infos folgern, dass es nur 2 Ideale gibt? Besten Dank für die Hilfe und liebe Grüsse! |
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| 08.10.2011, 12:05 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sollst die Aussage doch für endlichdimensionale Vektorräume beweisen.
Die wichtigsten Stichworte habe ich schon genannt. Nimm dir mal ein Ideal und darin ein Element . Hat Rang , so sind wir bereits fertig. Falls nicht, so hat es einen Rang . Dann kann man Zeilen- und Spaltenumformungen machen, bis man ein Element der Form mit Einsen hat. Wie es dann weitergeht, sollte klar sein. |
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| 08.10.2011, 13:39 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also obwohl es für dich so klar ist, würde ich meine Idee trotzdem überprüfen lassen 
Diese Matrix A~ hat also mindestens einen Eintrag ungleich 0. Durch Multiplikation von rechts und links kann man erreichen, dass die Matrix ausser dem Eintrag nur 0 enthält. Durch wiederholte Multiplikationen von links und rechts kann man den Eintrag an jede (beliebige) Stelle verschieben. Man kann ausserdem Matrizen addieren, ohne das Ideal zu verlassen. Das heisst, dass ich durch Summieren jede Matrix des vollen Ranges erreichen kann, also ist das Ideal genau R oder 0. Ist das etwa das, was du dir auch vorgestellt hast? |
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| 08.10.2011, 13:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So würde es gehen. Du "baust" dir also Diagonalmatrizen mit nur einer einzigen 1. Davon kriegst du alle durch Multiplikation mit Permutationsmatrizen. Addition liefert dann die Einheitsmatrix, womit man fertig ist. Es würde sogar reichen, wenn du nur eine einzige 1 mehr erzeugst und dir dann die Behauptung per Induktion über n-d liefern lässt. |
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| 08.10.2011, 16:59 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dankeschön! Ich habs mittlerweilen so gemacht, wie ich beschrieben habe. Der Weg per Induktion klingt zwar auch sehr interessant, allerdings ist er mir nicht so klar. (oke, ich habs jetzt auch nicht ernsthaft schriftlich probiert, aber wie gesagt: So klar ist mir der Weg nicht...) Gruss und danke! |
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| 08.10.2011, 17:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist eigentlich ganz einfach: Du zeigst über Induktion über : Ist eine Matrix vom Rang d im Ideal, so alle Matrizen. Der Induktionsanfang - d.h. - ist trivial. Im Induktionsschritt erzeugst du aus einer Matrix vom Rang d eine Matrix vom Rang d+1 und kannst dann die Induktionsvorraussetzung verwenden und kriegst sofort die Behauptung. Induktion über die Dimension geeigneter Räume ist ein sehr mächtiges Werkzeug in der linearen Algebra
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| 08.10.2011, 22:09 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhh..so ist es gemeint 
Ich dachte vorhin an einen viel umständlicheren Weg. Aber du hast Recht: So ist es wirklich noch "einfacher" als meine Lösung. ("Einfacher" in Anführungs- und Schlusszeichen, weil man halt doch erst auf die Idee kommen muss
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