Hauptkrümmungsrichtung |
| 08.10.2011, 12:14 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Hauptkrümmungsrichtung Ich habe zu dem Begriff Hauptkrümmungsrichtung irgendwie keine Anschauung... könnte mir da mal jemand helfen? So von wegen "ich stehe an einem Berg (=Fläche im IR^3)...". Ich weiß schon: Das sind die Richtungen der minimalen/maximalen Normalenkrümmung (wie lässt sich diese anschaulich erklären?), also Rechnen würde gehen...aber mir fehlt da absolut die Vorstellung und da hat mir auch kein Google-Beitrag geholfen 
Oder hat jemand ein Bild dazu parat? Das wär mal richtig klasse... Eins hab ich ja auch gefunden: http://www.net-k.de/info/Bronstein/daten/kap_3/node352.htm Vielleicht könnt ihr mir das etwas kommentieren? Und letztendlich brauch ich das alles für folgende Aufgabe: Man soll beide Hauptkrümmungsrichtungen einen Kreiskegels mit Öffnungswinkel in einem Punkt im Abstand von der Spitze bestimmen, ohne Ableitungen zu berechnen. (In diesem Zusammenhang fiel auch noch der Begriff DUPINsche Indikatrix) Wenn ihr mir vor allem am Beispiel des Kreiskegels mal erklären könntet, was da Normalenkrümmung und Hauptkrümmung(srichtungen) sind, dann würde mir das sehr helfen! Danke. Lieber Gruß, Margarita90 |
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| 08.10.2011, 20:08 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Auf so einer Fläche im R^3 haben Kurven zwei Arten von Krümmung: Normalkrümmung und geodätische Krümmung. Wenn man sich vorstellt, man stünde (in einem Punkt) auf der Fläche und läuft dann eine Kurve entlang, kann sie von beiden Sorten Krümmung etwas haben. Die geodätische Krümmung beschreibt, wie sehr sich die Kurve innerhalb der Fläche verbiegt. Die Normalkrümmung dagegen ist die Krümmung, die unsere Kurve im R^3 allein davon schon mitkriegt, dass es eine Kurve auf der Fläche sein muss. Sie ist dadurch bestimmt, wie groß der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Kurve ist. Beispiel Kugeloberfläche. Wir stellen uns mal in den Nordpol. Jetzt wollen wir zum Südpol laufen. Da haben wir natürlich hunderte, tausende, ja undendlich viele Möglichkeiten, eine Kurve abzugehen. Wenn wir uns aber vorstellen, wir würden auf der Kugelfläche immer geradeaus gehen (und keine Biegung machen), würden wir von außerhalb von der Kugel betrachtet auf einem Längenkreis laufen. Innerhalb der Fläche machen wir also keine Biegung (geodätische Krümmung=0), die Kurve krümmt sich aber natürlich im R^3 (sie muss ja auf der Kugel bleiben). Sie hat also Normalkrümmung. Jetzt stellen wir uns mal vor, wir stünden auf einem Punkt eines Zylinders. Wir können jetzt in ganz viele Richtungen laufen. Die Frage ist: wo haben wir viel Normalkrümmung, wo haben wir wenig Normalkrümmung? Schreib mal deine Überlegungen. Gut ist auch ein Hilfsmittel aus der linearen Algebra: da die Weingartenabbildung selbstadjungiert (damit normal) bezüglich der 1. Fundamentalform ist, stehen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenvektoren senkrecht aufeinander. Das bedeutet, da die Eigenvektoren tangential an die Hauptkrümmungsrichtungen stehen, dass (im Fall verschiedener Hauptkrümmungen) auch die Hauptkrümmungsrichtungen senkrecht aufeinander stehen. Das hilft uns im Zylinderbeispiel. Wenn wir den Zylinder durch haben, ist es nur noch ein ganz kleiner Schritt zum Kegel. Gruß Cordovan |
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| 09.10.2011, 20:36 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, danke für deine Hilfe. Also zu dem Zylinder: Ich würde mal sagen, wenig Normalkrümmung hat man in Richtung der Zylinder"enden", genau genommen ist sie dann sogar Null, wenn ich das richtig verstanden hab und entsprechend ist die Normalkrümmung maximal, wenn ich senkrecht zu den Zylinderenden laufe, also auf kürzestem Weg um den Zylinder herum sodass ich am Ende wieder an den Punkt gelange, wo ich herkam. Über geodätische Krümmung und die Weingartenabbildung haben wir in der Vorlesung nicht gesprochen. Ich hoffe, es geht auch ohne diese zwei Begriffe. Auf dem Kegel wäre die geringste Normalkrümmung dann Richtung Spitze? (oder von ihr weg - müsste egal sein?!) Und entsprechend die andere senkrecht dazu. Aber wie bringt man da den Öffnungswinkel und den Abstand zur Spitze ins Spiel? Und die Hauptkrümmung Richtung Spitze ist Null, ja? Das würde insofern passen, als dass dann die Gaußsche Krümmung Null ist, was der Fall sein muss, da der Kegel eine abwickelbare Fläche (also isometrisch zum IR^3) ist. Sehe ich das soweit richtig? Liebe Grüße! |
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| 10.10.2011, 08:42 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles was du schreibst, ist absolut richtig. Super! 
Also weißt du jetzt schon, wo die HKR liegen. Wenn du sie auch explizit als Parametrisierung hinschreiben willst / musst, musst du für den Kegel nur die Gerade (von der Spitze weg) und den Kreis (um den Kegel herum, im Abstand s) parametrisieren. Cordovan |
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| 10.10.2011, 16:23 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm... und wie parametrisiert man das jetzt? 
Muss ich mir den Kegel jetzt auf irgendeine schlaue Art und Weise in ein Koordinatensystem packen? Und der Kreis hat im Abstand s den Radius , oder? Muss das mit rein? Nochmal vielen Dank für deine Hilfe und lieben Gruß! |
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| 10.10.2011, 18:24 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Den Radius hast du schonmal richtig bestimmt. Ich würde mir den Kegel in der Tat clever in ein Koordinatensystem packen, also sagen wir mit Spitze im Ursprung und symmetrisch zur xy-Ebene hingelegt. In welcher Ebene liegt dann der Kreis, um den es geht? Wo liegt der Mittelpunkt des Kreises? Das sind dann genügend Informationen, um den Kreis zu parametrisieren. Cordovan |
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| 10.10.2011, 21:51 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also... mein Koordinatensystem: x-Achse nach rechts, y-Achse nach oben, z-Achse kommt "heraus". Kegelspitze ist im Ursprung und er steht gerade wie ein Kreisel. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass ich mich in einen Punkt P des Kegels befinde, der genau über der x-Achse liegt. Der Abstand zum Ursprung beträgt also s, der zur y-Achse ist r, und den zur x-Achse nenne ich h. Ist es dann richtig, zu sagen, dass die minimale HKR sich ergibt als ??? Und wenn ja: Woran sieht man denn da, dass diese HK=Null ist? Bei der anderen bin ich mir nicht im Klaren... Der Kreis liegt in der x-z-Ebene... der Mittelpunkt liegt auf der y-Achse im Punkt (0,h,0) (also h wie oben mit cos...). Aber irgendwie tu ich mich da grad schwer. Um eine Richtung anzugeben, braucht man doch 2 Punkte? Oder geht es um dei Tangente an den Kreis im Punkt P? LG |
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| 10.10.2011, 22:01 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm... ich nochmal. Also ich bin in der xz-Ebene, Radius r ist bekannt. Dann lautet meine Kreisgleichung: , was man nach z umstellen kann. Dann kann ich eine Kurve parametrisieren: . (also y-Komponente weggelassen) Und dann nach x ableiten? LG |
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| 10.10.2011, 22:27 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit hast du den Kegel jetzt anders hineingelegt, als ich es gedacht hatte, aber das spielt keine Rolle. Also: fangen wir mal mit dem einfachen Fall an: der Geraden, die auf dem Kegelmantel verläuft. Eine Gerade kann man bekanntlich parametrisieren durch wobei p der Stützpunkt und v ein Richtungsvektor der Geraden sind. Da du allerdings nur die Hauptkrümmungsrichtungen, nicht jedoch die Krümmungslinien bestimmen sollst (mit anderen Worten: nur den Tangentenvektor der Kurve, nicht jedoch die Kurve selbst), brauchen wir in Wirklichkeit nur den Vektor v. Also: in welchem Punkt sind wir (Stützpunkt), welchen Richtungsvektor müssen wir nehmen? Danach widmen wir uns dem Kreis. Auch hier brauchen wir eigentlich nur die Richtung. Cordovan |
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| 11.10.2011, 09:18 | Margarita90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir sind im Punkt (r|h|0), würd ich sagen. Und wenn wir mit O den Ursprung bezeichen, suchen wir die Richtung , und da O=(0|0|0) ist, gilt doch =(r|h|0), oder nicht? Oder vielleicht auch , aber das dürfte doch egal sein?! LG |
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