Wurzel ist keine Äquivalenzumformung - Betragszeichen setzen?

08.10.2011, 14:49

Gittetier

Wurzel ist keine Äquivalenzumformung - Betragszeichen setzen?

Meine Frage:
Hallo,
ich soll folgende Gleichung nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} \end{eqnarray*}$

Da, Wurzel ziehen keine Äuquivalenzumformung ist, muss man dann vermutlich Betragsstriche setzen? Allerdings ziehe ich ja auch die Wurzel aus x^2, fallen die Betragszeichen dann wieder weg?

Meine Ideen:
Theoretisch müsste es ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} | x|=|\frac{a}{b} | \end{eqnarray*}$

kann ich dann einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

????
Danke schonmal und ich freu mich, wenn jemand die Zeit findet, zu antworten.
Viele Grüße Gittetier

08.10.2011, 15:02

Pascal95

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Nein, das geht nicht.

Gegenbeispiel:
x=1
a=-1
b=1

09.10.2011, 19:49

Gittetier

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Oh ja. Das war eigentlich ziemlich einfach ... aber ich habs nicht gesehen. Vielen Dank! Und noch einen schönen Sonntag Abend.
Grüße Gittetier

09.10.2011, 19:51

Pascal95

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Ok, ciao

09.10.2011, 19:59

Leopold

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RE: Wurzel ist keine Äuquivalenzumformung - Betragszeichen setzen?

Zitat:

Original von Gittetier
Da, Wurzel ziehen keine Äuquivalenzumformung ist

Das ist falsch. Wurzelziehen ist immer eine Äquivalenzumformung. Natürlich dort, wo es erlaubt ist, nämlich bei nichtnegativen Zahlen. So hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x+2)^2 = 9 \end{eqnarray*}$

die zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ . Dieselben Lösungen hat auch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+2)^2} = \sqrt{9} \end{eqnarray*}$

Allerdings darf man hieraus jetzt nicht die Gleichung $\begin{eqnarray*} x+2=3 \end{eqnarray*}$ machen. Das liegt aber nicht daran, daß Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung wäre, sondern an einer falschen Anwendung eines Wurzelgesetzes.

In Wahrheit ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. So hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x+2=-3 \end{eqnarray*}$

nur die Lösung $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ , die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x+2)^2 = (-3)^2 \end{eqnarray*}$

dagegen die Lösungen $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

09.10.2011, 21:45

Dopap

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RE: Wurzel ist keine Äuquivalenzumformung - Betragszeichen setzen?
Weder Quadrieren noch Wurzelziehen ist eine Äquivalenzumformung.

den "Wurzelsatz" kenne ich nicht.

09.10.2011, 23:31

Leopold

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RE: Wurzel ist keine Äuquivalenzumformung - Betragszeichen setzen?

Zitat:

Original von Dopap
den "Wurzelsatz" kenne ich nicht.

Ich auch nicht. Im übrigen liegst du nicht richtig.

Wurzelziehen im Reellen ist eine Äquivalenzumformung. Die Wurzelfunktion ist nämlich bijektiv.
Dagegen ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Denn die Quadratfunktion ist nicht bijektiv.

Natürlich setze ich hier das beim Gleichungslösen Übliche voraus, daß man nämlich die Funktionen in ihrem maximalen Definitionsgebiet anwendet. Schränkt man die Quadratfunktion etwa auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, so wird sie auch bijektiv. Deswegen könnte man genauer sagen: Auf den nichtnegativen reellen Zahlen ist auch das Quadrieren eine Äquivalenzumformung.

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