Matrizen: Beweis mit Eigenwert und Inverse

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Juleez Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen: Beweis mit Eigenwert und Inverse
Meine Frage:
Klasse 13, LK

Zeigen Sie: Hat eine Matrix M den Eigenwert k, dann hat die inverse Matrix M^-1 den Eigenwert k^-1. Tipp: Benutzen Sie A * A^-1 = A^-1 * A = E

Meine Ideen:
M * v = k * v
M^-1 * v = k^-1 * v

A * A^-1 = A^-1 * A = E

wie verpflechte ich das ganze?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
M * v = k * v


Du musst an dieser Stelle nur noch auf beiden Seiten von links mit multiplizieren und dann die richtigen Schlüsse daraus ziehen.
Juleez Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke smile
Dann erhalte ich:

* M * v = * k * v

E * v = * k * v

leider verstehe ich nicht, wie ich weiter machen muss unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

E*v kann man ja noch etwas zusammenfassen. Augenzwinkern
Naja und dann bring die Gleichung doch wieder in die Form A*v=c*v wobei A hier ist.
Juleez Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaaaah Daaaanke smile

v = * k * v | : k

1/k * v = * v

=> * v = k^-1 * v

q.e.d


so richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, somit ist gezeigt, dass 1/k ein Eigenwert für die Matrix sein muss.
 
 
hlm Auf diesen Beitrag antworten »

wie bist du auf v gekommen, und wofür steht das?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

v ist halt Bestandteil der Eigenwertgleichung und beschreibt einen so genannten Eigenvektor zum Eigenwert k, also einen Vektor, der auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
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