x bestimmen

08.10.2011, 19:31

jaloc

x bestimmen

Hallo,

ich hab da mal ne Frage. Wir haben eine Gleichung gegeben: x -> 2^x.

Bestimme die kleinste Zahl x_0, sodass für alle x > x_0 gilt: 2^x > 16*x^3.

Ich hab keinen Schimmer, was ich da machen soll. 2^x hat doch keine Nullstelle, sondern strebt nur gegen null.
Ich weiß auch nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll. Soll ich da nun jeden Wert einsetzen für x? Also 1,2,3,4,5,....?

08.10.2011, 19:40

Pascal95

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RE: x bestimmen

Zitat:

Original von jaloc
ich hab da mal ne Frage. Wir haben eine Gleichung gegeben: x -> 2^x.

Sieht mir eher nach Ungeleichung aus.

Steht da etwa $\begin{eqnarray*} x\geq 2^x \end{eqnarray*}$ oder ist das da ein Pfeil ?

08.10.2011, 19:52

jaloc

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Nein, da steht wirklich ein Pfeil, in meiner Formelsammlung ist dieser Pfeil gekennzeichnet durch "Zeichen für die Zuordnung".

Das andere ist natürlich eine Ungleichung, richtig.

08.10.2011, 20:00

René Gruber

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Zitat:

Original von jaloc
Bestimme die kleinste Zahl x_0, sodass für alle x > x_0 gilt: 2^x > 16*x^3.

Geht es hier nur um natürliche, oder doch um beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x,x_0 \end{eqnarray*}$ ? Das ist wichtig für die Wahl des Lösungsweges!

08.10.2011, 20:12

jaloc

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Das steht da leider nicht. Da steht nur genau

Zitat:

Bestimme die kleinste Zahl x_0, sodass für alle x > x_0 gilt: 2^x > 16*x^3.

. Mit der Funktion oben stand nur als Aufgabe, dass der Graph skizziert werden soll, aber nicht ob reelle Zahlen o.ä., stand nix von dort.

In Aufgabe 3 soll beantwortet werden, wie sich sie Antwort in obiger Aufgabe (2) verändert, wenn die rechte Seite (16*x^3 ) mit 2^13 = 8 192 multipliziert wird, also die Ungleichung 2^x > 131 072*x^3
betrachtet wird.

08.10.2011, 20:22

René Gruber

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Na dann gehen wir mal vom "härteren" Fall aus, dass reelle $\begin{eqnarray*} x,x_0 \end{eqnarray*}$ gemeint sind.

Tipp: Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{\frac{x-4}{3}} - x \end{eqnarray*}$ , insbesondere deren Ableitung. Überlege dir zunächst, was diese Funktion mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^x > 16x^3 \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

08.10.2011, 20:49

jaloc

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Hm, ich hätte jetzt gesagt, dass ist irgendwie umgestellt, aber es kann ja bei ner Ungleichung keine Gleichung rauskommen.

Als Ableitung habe ich einen Wert von -1/3 heraus. Das bringt mich gerade auch nicht weiter.

08.10.2011, 21:34

René Gruber

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Zitat:

Original von jaloc
Das bringt mich gerade auch nicht weiter.

Dem kann ich nur zustimmen, da deine beiden Erkenntnisse aus diesem Tipp vollkommen "daneben" sind:

Eine Funktionsdefinition ist keine Gleichung, und die Ableitung ist geradezu fürchterlich falsch.

EDIT: Jetzt geht mir erst ein Licht auf, dass du das wohl als $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{x-4}{3} - x \end{eqnarray*}$ gelesen hast!!! Finger1

Natürlich ist "2 hoch ..." gemeint, d.h. nochmal anders geschrieben $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{(x-4)/3} - x \end{eqnarray*}$ . smile

09.10.2011, 13:43

jaloc

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Ja, genau das hatte ich gelesen. (Das falsche oben)

Die Ableitung krieg ich auch schon nicht hin (Mathe ist leider zu lange her bei mir - der Einstieg ist echt schwer).

Ich erinnere mich an innere * äußere Ableitung. Also ist 2 ^(x-4/3) die äußere und (x-4)/3 die innere. -x wird ja zu -1. Aber wie leite ich denn diesen Bruch ab? Ich hab ja auch noch die 2 davor stehen. Das das ganze hoch den Bruch ist, verwirrt mich total. Ich weiß auch nicht, wie man das umschreiben kann. Oder kommst hier gar nicht die Kettenregel zum Tragen, sondern die Quotientenregel?

09.10.2011, 14:00

jaloc

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Hm, ärgerlich. Man wird ja quasi zu Doppelposts genötigt Big Laugh

Zitat:

Sie können Beiträge nur innerhalb von 15 Minuten, nachdem Sie sie verfasst haben, bearbeiten.

Ich habe nun als versuchte Ableitung
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-4}{3} *2^{-1}*\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Bestimmt falsch, aber ich hab versucht die Innere * Äußere Regel anzuwenden, und Brüche abzuleiten...

Im Übrigen habe ich aber keine Ahnung, was die Ableitung mit der Aufgabe gemeinsam haben könnte.

09.10.2011, 14:11

René Gruber

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Also wenn die Probleme schon da anfangen... unglücklich

Es gilt die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} \left( a^x \right)' = \left( e^{x\ln(a)} \right)' = a^x \cdot \ln(a) \end{eqnarray*}$ ,

welche hier anzuwenden ist, natürlich in Verbindung mit der Kettenregel.

-----------------------------

Was die Verbindung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zur Ungleichung betrifft: Durch äquivalente Umformungen ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 2^x &>& 16x^3 \qquad \Big| \; :16 \\ 2^{x-4} &>& x^3 \qquad \Big| \; :\sqrt[3]{\ } \\ 2^{(x-4)/3} &>& x \end{eqnarray*}$ ,

d.h., die Ungleichung ist für genau die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfüllt, für die $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Grundidee der Lösungsfindung ist nun, ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu finden mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist nämlich auch $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x > x_0 \end{eqnarray*}$ und somit dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der in deiner Aufgabenstellung gesuchte Wert.

09.10.2011, 14:29

jaloc

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Zitat:

Also wenn die Probleme schon da anfangen... unglücklich

... dann kann ich es gleich bleiben lassen oder wie? Big Laugh

Seh ich anders - ich möchte es lernen. Und ich bin halt schon im Beruf und hatte mehrere Jahre kein Mathe - daher ist es nicht verwunderlich, dass es jetzt eben nicht mehr sitzt. Dafür setze ich mich ja mit dem Stoff auseinander.

Ich habe als Ableitung nun mit der Regel oben, die ich nicht kannte,
$\begin{eqnarray*} f'(x)=ln 2 * 2^{\frac{x-4}{3}} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
raus.

Durch probieren habe ich 16 raus, also als Lösung, aber probieren ist ja nicht gefragt, sondern eher durch rechnen.

09.10.2011, 14:43

René Gruber

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Zitat:

Original von jaloc
Durch probieren habe ich 16 raus, also als Lösung, aber probieren ist ja nicht gefragt, sondern eher durch rechnen.

Probieren ist Ok, wenn man nicht dabei stehen bleibt. Lies dir meinen letzten Beitrag ganz durch, dann verstehst du hoffentlich, was ich meine.

Zitat:

Original von jaloc
Und ich bin halt schon im Beruf und hatte mehrere Jahre kein Mathe - daher ist es nicht verwunderlich, dass es jetzt eben nicht mehr sitzt.

Bin auch einige Jährchen im Beruf, und das ist für mich keine überzeugende Ausrede. Schließlich gibt es genug Nachschlagewerke (nun auch online), um die vielleicht in Vergessenheit geratenen Ableitungsregeln zu rekapitulieren, anstatt schlecht zu raten.

Zitat:

Original von jaloc
Ich habe als Ableitung nun mit der Regel oben, die ich nicht kannte,
$\begin{eqnarray*} f'(x)=ln 2 * 2^{\frac{x-4}{3}} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
raus.

Die $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ganz hinten in der Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hast du wohl vergessen abzuleiten? Als Ableitung für den vorderen Teil ist dein Ergebnis aber Ok.

09.10.2011, 15:14

jaloc

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Nun - hätte ich nicht nachgeschlagen in meinen alten Unterlagen sowie im Netz, hätte ich von Ketten- und Quotientenregel gar nix gewusst Big Laugh

Nur kenne ich auch niemanden, der solche Aufgaben sofort ohne Fehler lösen kann, indem er sich 1x die Kettenregel zB anguckt. Vllt wenn Mathe noch nicht so ganz weit entfernt ist. Dann wäre dieses Board hier glaube ich auch überflüssig, wenn man alles auf Anhieb durch Lektüre versteht. Ich bin jedenfalls froh, dass ich hier mit jmd über meine Aufgaben reden kann, denn so versteht man es wesentlich schneller. Verschiedene Beiträge von verschiedenen Usern zeigen einem auch verschiedene Lösungswege statt nur einen, das finde ich klasse.

Wie auch immer: die Umformung habe ich verstanden. Die Ableitung entspricht wohl der Umformung.

Die Ableitung von -x ist -1. Die kommt dann natürlich wohl dahinter, das habe ich in der Tat vergessen. D.h. man könnte am Ende gleich -2/3 schreiben, statt -1 + 1/3.

Zitat:

Grundidee der Lösungsfindung ist nun, ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu finden mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist nämlich auch $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x > x_0 \end{eqnarray*}$ und somit dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der in deiner Aufgabenstellung gesuchte Wert.

Ich bin auch etwas verwirrt mit der Schreibweise x_0. Bei uns war x mit Index 0 immer eine Nullstelle. Du meinst sicherlich einfach einen x-Wert, oder? Weil du einmal x_0 schriebst und einmal nur x.

Ich habe also f(x)=0 gesetzt, und habe nun nach Umformen $\begin{eqnarray*} x=2^{\frac{x-4}{3} } \end{eqnarray*}$ - weiß aber schon wieder nicht, wie ich auch das x ganz aus dem Exponenten herausbekommen kann. Beim Ableiten gings ja mit der Kettenregel, aber ich will ja nicht ableiten.

a^(1/n) ist ja die n-te Wurzel aus a. Ist mein $\begin{eqnarray*} x=2^{\frac{x-4}{3} } \end{eqnarray*}$ dann umgeschrieben (mich verwirrt dann das x-4, da dies ja nicht 1 wie in meinem Beispiel eben ist): $\begin{eqnarray*} x=\frac{x-4}{\sqrt[3]{2} } \end{eqnarray*}$ ? Dann habe ich am Ende $\begin{eqnarray*} 4+\sqrt[3]{2} *x=x \end{eqnarray*}$ , aber es steht auf einer Seite immer noch x, und ich will ja nur eins behalten. Wenn ich aber durch x teile, erhalte ich auf der anderen Seite dann 1, und beide x sind weg... Verzwickt.

09.10.2011, 15:39

René Gruber

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Zitat:

Original von jaloc
D.h. man könnte am Ende gleich -2/3 schreiben, statt -1 + 1/3.

Wie das??? Da gibt es keine Konstante 1/3, mit der du das verbinden kannst. unglücklich

Zitat:

Original von jaloc
Ich bin auch etwas verwirrt mit der Schreibweise x_0. Bei uns war x mit Index 0 immer eine Nullstelle. Du meinst sicherlich einfach einen x-Wert, oder? Weil du einmal x_0 schriebst und einmal nur x.

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja auch eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - also was beschwerst du dich? Überdies erinnere ich mal an deine Original-Aufgabenstellung:

Zitat:

Original von jaloc
Bestimme die kleinste Zahl x_0, sodass für alle x > x_0 gilt: 2^x > 16*x^3.

Genau dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ habe ich gemeint, deswegen bin ich schon ziemlich erstaunt, was für eine Diskussion du jetzt über dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ vom Zaun brichst. verwirrt

Was du im Rest des Beitrags machen willst, verstehe ich nun gleich überhaupt nicht. Du hast das $\begin{eqnarray*} x_0=16 \end{eqnarray*}$ gefunden, soweit gut. Alles was nun noch zu tun ist, ist

Zitat:

Original von René Gruber
[...] sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ nachweisen.

Du hast offenbar was ganz anderes vor, mir ist nicht ganz klar, was. verwirrt

09.10.2011, 15:59

jaloc

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Zitat:

Wie das??? Da gibt es keine Konstante 1/3, mit der du das verbinden kannst. unglücklich

Stimmt, wegen dem Multiplikationszeichen, oder? Wenn dort ein Plus oder Minus stehen würde, würde es aber schon gehen, oder?

Ich bin einfach mit deiner Lösung verwirrt, oder die Zwischenschritte sind mir zu weit und nicht Schritt für Schritt. Mit der Nullstelle war ich verwirrt, da die Exponentialfunktion doch eigentlich nur gegen null strebt, aber keine Nullstellen hat, wobei wir natürlich keine richtige Funktion haben, sondern am Anfang ja nur die Ungleichung. Ich habe aber ehrlich gesagt schon deinen Schritt von einer Ungleichung auf eine Funktion nicht verstanden - d.h., wie man von einer Ungleichung auf eine Funktion f(x) kommt (mit einem gleich statt ungleich dazwischen). Dann wüsste ich vllt auch, warum Ableitung etc. Die Nullstellen der Ableitung waren doch immer die Extrema der Funktion, wenn ich recht erinnere. Aber wie kann eine Ungleichung ein Extrema (oder mehrere) haben.

Die 16 habe ich durch simples probieren, nicht durch rechnen herausgefunden - ich bin aber nicht sicher, ob das richtig ist, wenn da sowas steht wie "Errechnen Sie " o.ä.

$\begin{eqnarray*} Alles was nun noch zu tun ist, istZitat:Original von René Gruber[...] sowie [latex]f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ nachweisen.[/latex]

Da würde ich jetzt stumpf eine Wertetabelle mit Werten von kleiner null und größer null erstellen um obiges zu beweisen.

09.10.2011, 16:13

René Gruber

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Ok, ich sehe ein, du begreifst überhaupt nicht den Sinn meines Lösungswegs und hast dich deshalb in eine Art Verweigerungshaltung eingebunkert. Da ist wohl eine "Motivationsrunde" nötig:

1.Eine algebraische Auflösung von $\begin{eqnarray*} 2^x > 16x^3 \end{eqnarray*}$ bzw. des dazu äquivalenten $\begin{eqnarray*} 2^{(x-4)/3} > x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist NICHT möglich. Also muss man sich was anderes einfallen lassen, zunächst führen wir dazu als Abkürzung diese Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{(x-4)/3}-x \end{eqnarray*}$ ein.

2.Man kann eine Lösung von $\begin{eqnarray*} 2^x = 16x^3 \end{eqnarray*}$ bzw. eben $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ erraten, nämlich die Lösung 16, diese Lösung (=Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) nennen wir mal $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir jetzt noch nachweisen, dass für alle größeren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} x > 16 \end{eqnarray*}$ ) die Ungleichung $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann sind wir fertig, denn genau so ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist in der Aufgabenstellung gesucht!!!

3.Wie weisen wir nun aber nach, dass $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>16 \end{eqnarray*}$ gilt. Direkt algebraisch ist das ja nicht möglich (s.o.), für die Ableitung hingegen klappt der Nachweis $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , u.a. weil die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ von einfacherer Struktur als $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ( $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ taucht nur noch einmal im Exponenten auf, nicht mehr linear).

4.Fehlt als letztes Puzzlestück die Begründung dafür, warum aus der Positivität der Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ auch die der Originalfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} x>16 \end{eqnarray*}$ folgt.

P.S.: Die Einfachheit der Ableitung ist auch der Grund dafür, warum $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau so und nicht anders gewählt wurde: Laut Originalproblem hätte man oberflächlich betrachtet ja auch mit $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x - 16x^3 \end{eqnarray*}$ arbeiten kännen, was aber eine für diese Art Lösungsweg zu komplizierte Ableitung zur Folge gehabt hätte - oder anders formuliert: Der oben skizzierte Lösungsweg passt nicht zu diesem anderen $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x - 16x^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von jaloc
Da würde ich jetzt stumpf eine Wertetabelle mit Werten von kleiner null und größer null erstellen um obiges zu beweisen.

Das mag für viele ingenieurtechnische Belange ausreichen, als mathematische Begründung ist das schlicht nicht ausreichend. unglücklich

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