Beweisen: Die wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzal "u" ist ungerade.

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reputat Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen: Die wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzal "u" ist ungerade.
Behauptung:

Die wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzal "u" ist ungerade.

Inderekt Beweisen:

Sei "q" - Quadratzahl (z.B. 1,9,16...)

Sei "u" ungerade Quadratzahl

Wiie geht es weiter?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis durch Widerspruch!

Nimm an, sie wäre gerade.

Was kann man über gerade Zahlen sagen ?
Wie sind denn Quadratzahlen von geraden Zahlen ?
reputat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Beweis durch Widerspruch!

Nimm an, sie wäre gerade.

Was kann man über gerade Zahlen sagen ?
Wie sind denn Quadratzahlen von geraden Zahlen ?


JA gerade Zahlen sind durch 2 Teilbar, was bei ungerade Zahlen das Gegenteil ist.

Definiert sind die geraden Zahlen durch 2k
ungerade 2k-1

Quadratzahl von geraden zahlen sind Zahlen die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist 4 = 2*2

Ungerade Quadratzahl 9 weil 9=3*3
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, was passiert, wenn man eine gerade Zahl quadriert?

Du hast ja schon richtig erfasst, dass gerade Zahlen stets durch dargestellt werden können.

Jetzt einfach mal quadrieren und ein bisschen vereinfachen...
reputat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ok, was passiert, wenn man eine gerade Zahl quadriert?

Du hast ja schon richtig erfasst, dass gerade Zahlen stets durch dargestellt werden können.

Jetzt einfach mal quadrieren und ein bisschen vereinfachen...


Noch mal damit es übersichtlicher wird.
Behauptung:

Die Wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzal "u" ist ungerade.

Inderekt Beweisen:

Sei "q" - Quadratzahl (z.B. 1,9,16...)

Sei "u" ungerade Quadratzahl

So ist mein Lösung:

Wenn q Quadratzahl ist und u Ungerade Zahlen sind, dann gilt folgendes:



=>



Da quadratzahl =>



=>



=>



=>




Ist es richtig so?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für den Beweis durch Widerspruch nimmst du ja an, es wäre eine gerade Zahl.

Also kann diese durch dargestellt werden.

Nun kannst du diese quadrieren und schon bist du fertig.

 
 
Verkasematucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen: Die wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzal "u" ist ungerade.
Was spricht denn gegen einen direkten Beweis?
Offenbar ist die zu zeigende Aussage gleichbedeutend mit:

Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.

Jede ungerade, natürliche Zahl hat die Darstellung
Betrachte also das Quadrat einer ungeraden Zahl:



Welche Schlußfolgerung erlaubt nun diese Darstellung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das gleichbedeutend sein?

Zu zeigen: u² ungerade => u ungerade

Du willst zeigen: u² ungerade <= u ungerade.

Das sind 2 verschiedene Richtungen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Direkt zeigen kann man höchstens, dass das Quadrat einer geraden Zahl wieder gerade ist.
Das wäre durch einen direkten Beweis meiner Meinung nach auch einfacher als ein Widerspruchsbeweis.
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