Vektorielle Normalform verstehen

08.10.2011, 19:46	plop	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorielle Normalform verstehen Hallo, ich habe große Probleme, die vektorielle Normalform der Gerade und Ebene zu verstehen. Der Einfachkeit halber versuche ich es anhand der Geraden nachzuvollziehen, doch das klappt einfach nicht. Die Punktrichtungsvektorform ist: a + kr. Das verstehe ich. Man erhält einen Anfangspunkt auf der Geraden, und kann mit variierendem k jeden weiteren Punkt erreichen. Bei der Normalform bilde ich dann einen Vektor, der senkrecht zu r steht (z.B. durch Vertauschung der Komponenten und Vorzeichenwechsel). Mir ist klar, dass dadurch die Ausrichtung der Geraden super beschrieben wird, aber wie kann mit Startpunkt und Normalenvektor weiterhin jeder Punkt auf der Geraden erreicht werden? Ich habe hier eine Definition, die den Normalenvektor wie folgt einbringt: g = a + kr (Punktrichtungsvektorform) gn = an + krn gn = an (weil rn = 0, da senkrecht) gn = k (an ist eine Konstante) Nun verstehe ich nicht, was das alles bedeutet. In wiefern beschreibt dies denn eine Gerade? Was stellt der Geradenvektor "g" dar? Wenn ich dafür einsetze (a + kr)n = k Dann drehe ich mich doch wieder im Kreis, weil dann an wieder k wird und krn 0, sodass ich k = k habe. Aber wenn es alles konstant ist, wie kann es eine Gerade sein? Was bedeutet das alles? Vielen Dank!
08.10.2011, 20:09	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorielle Normalform verstehen kurz und schmerzlos: das skalarprodukt des/ eines normalenvektors mit jedem vektor, der in richtung der geraden schaut, ist 0
09.10.2011, 02:23	plop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Werner, das habe ich schon verstanden. Jeder Vektor kr ist natürlich per Definition senkrecht zu n, da n einfach ein senkrechter Vektor zu r ist. Das ist ja die Definition! Nur verstehe ich leider nicht, in wiefern ich mit diesem senkrechten Vektor n, und der Geradengleichung gn = k etwas anfangen kann? Ich verstehe einfach nicht, wie das für sich eine komplette Gerade darstellt. Was felt mir hier? Ich kann dann natürlich zur Punktrichtungsvektorform umformen, womit ich dann etwas anfangen kann. Bedeutet das, ich muss so oder so zur Punktrichtungsvektorform umrechnen um damit irgendetwas anzufangen? Was genau bringt mir "gn = k"? (Wobei g ohnehin an + krn = k + 0 entspricht) und wie genau ist dies als Gerade zu verstehen? Wenn ich für "g" einsetze, erhalte ich ja wieder: (a + kr)n = k Sei bitte nachsichtig, ich steige hier gerade erst ein. Tut mir leid, dass ich deiner Antwort nicht folgen kann! Danke!
09.10.2011, 12:17	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das "nichtverstehen" kommt vermutlich - wie so oft - von deiner saumäßigen (nicht böse sein!) darstellungsform, die da ist: kein latex und noch schwerwiegender: denselben bezeichner für "hundert" verschiedene sachen. ich versuche es einmal, so wie ich mir das vorstelle: die gleichung einer geraden in parameterform lautet: $\begin{eqnarray} (1)\quad{ }\vec{x}=\vec{a}+t\cdot\vec{r} \end{eqnarray}$ mit dem ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ des aufpunktes A und dem richtungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{r}. \end{eqnarray}$ nun sei $\begin{eqnarray} \vec{s} \end{eqnarray}$ ein vektor mit $\begin{eqnarray} (2)\quad{ }\vec{s}\perp\vec{r} \end{eqnarray}$ dann gilt für das skalarprodukt wegen (2) $\begin{eqnarray} \vec{x}\cdot\vec{s}=\vec{a}\cdot\vec{s}+t\cdot\vec{r}\cdot\vec{s}\to\vec{x}\cdot\vec{s}=\vec{a}\cdot\vec{s} \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} (3)\quad{ }\vec{a}\cdot\vec{s}=k \end{eqnarray}$ folgt daraus die normalvektorform der geraden $\begin{eqnarray} \vec{x}\cdot\vec{s}=k \end{eqnarray}$ so besser, oder habe ich dich falsch verstanden zusatz: $\begin{eqnarray} \vec{s}\wedge k \end{eqnarray}$ legen nun eine gerade fest, so wie vorher $\begin{eqnarray} \vec{a}\wedge \vec{r} \end{eqnarray}$ gelten die beziehungen (2) und (3), handelt es sich um dieselbe gerade

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