vereinfachtes Newtonverfahren

31.12.2006, 18:49	Newton.	Auf diesen Beitrag antworten »
vereinfachtes Newtonverfahren Abend, ich rechne gerade eine Altklausur durch - dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen zu der ich zwar die Lösung habe, allerdings wird darin auf eine damalige Übungsaufgabe verwiesen, weshalb sie sehr knapp ausfällt. Die Aufgabe lautet wie folgt: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \in C^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^ \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x) > 0, f''(x) > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x > x^* \end{eqnarray}$ . Man zeige: Für jeden Startpunkt $\begin{eqnarray} x_0 > x^* \end{eqnarray}$ konvergiert die Iterationsfolge des vereinfachten Newtonverfahrens $\begin{eqnarray} x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_0)} \quad k=0,1,... \quad x_0 > x^* \end{eqnarray}$ Mein erster Gedanke war natürlich der Beweis für das "Standard-Newtonverfahren" - der hier aber fehlschlägt, weil man beim Mittelwertsatz wegen der Vereinfachung im Nenner nicht abschätzen kann. Ich habe das versucht wie folgt zu lösen: Wegen $\begin{eqnarray} x_0 > x^* \Rightarrow f'(x_0) > 0, f(x_0) > 0 \Rightarrow x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_0)} < x_k \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} x_0 \geq x_k \Rightarrow f(x_0) \geq f(x_k), f'(x_0) \geq f'(x_k) \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_0)} \geq x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} > x^* \end{eqnarray}$ (da f''>0 konvergiert das Newtonverfahren ja von rechts). Und somit folgt $\begin{eqnarray} x^* < x_k < x_0 \quad \forall_{k \geq 1} \end{eqnarray}$ Nun konvergiert das Newtonverfahren gegen irgendeinen Wert $\begin{eqnarray} \xi \geq x^* \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} \xi = \xi - \frac{f(\xi)}{f'(\xi)} \Rightarrow f(\xi) = 0 \Rightarrow \xi = x^* \end{eqnarray}$ (da nach Vor. $\begin{eqnarray} \forall_{x > x^} \quad f(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist nun, ob der Beweis so überhaupt stimmt und ob man ihn evtl. besser machen könnte (weil ich zum Lernen halt am liebsten "Musterlösungen" habe ). Danke fürs Durchlesen.

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