Rechenregel für Wahrscheinlichkeitsräume

08.10.2011, 21:59

PeterSchmitt

Rechenregel für Wahrscheinlichkeitsräume

Hallo,
im Buch gibt es folgende Aufgabe über endliche Wahrscheinlichkeitsräume zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) - P(A)P(B) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) - P(\bar{A})P(\bar{B}) \end{eqnarray*}$

wobei es sich bei den Ereignissen mit dem Trich darüber um die Komplementärereignisse handelt.

Wie kann man diese Aufgabe lösen? Im Lösungshinweise steht nur

$\begin{eqnarray*} P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A)-P(B) + P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} P(A) = 1 - P(\bar{A}), P(B) = 1 - P(\bar{B}) \end{eqnarray*}$

woraus die Aussage lösen soll. Allerdings werde ich daraus nicht schlau unglücklich

Vielen Dank!

08.10.2011, 22:16

René Gruber

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Denkbar einfach!
Formulieren wir die Hinweise leicht um

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A)-P(B) + P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(\bar{A}) = 1 - P(A) , P(\bar{B}) = 1 - P(B) \end{eqnarray*}$

setzen diese drei Werte in den Term rechts in der Behauptung ein, vereinfachen, und schon sind wir beim linken Term und damit die Behauptung bewiesen. Das ist dir nicht in den Sinn gekommen?

09.10.2011, 10:29

PeterSchmitt

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Nein, das ist mir nicht eingefallen. Jetzt ist es aber ersichtlich.

Dankeschön! smile

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