Grenzwertbestimmung einer Aufwandsabschätzung

09.10.2011, 16:27

oschili

Grenzwertbestimmung einer Aufwandsabschätzung

Hallo liebe Community,

ich möchte für folgende Gleichungen einen Grenzwert bestimmen. Und habe das Gefühl, dass es 1/2 ist. Allerdings weiß ich noch ncith wie ich dort rechnerisch hinkomme.

$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n+2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

09.10.2011, 16:32

AlphaCentauri

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RE: Grenzwertbestimmung einer Aufwandsabschätzung
Hallo,
am besten du teilst erstmal durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und betrachtest den Grenzwert dann nochmal Augenzwinkern

Alpha

09.10.2011, 18:24

oschili

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Wie durch n teilen? Ich mein ich müsste doch wenn durch n+2 teilen`?

09.10.2011, 18:28

AlphaCentauri

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Nein, was ich meine ist, dass du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausklammern sollst, sowohl aus dem Nenner, als auch aus dem Zähler, dann hast du folgendes dastehen: $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{1}{n}}{1+ \frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$
Was passiert nun, wenn du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen lässt?

Alpha

09.10.2011, 18:30

oschili

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n/n kann man rauskürzen. Damit würde da dann
1+1 = 2 stehen Big Laugh

09.10.2011, 18:37

AlphaCentauri

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wo möchest du denn $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ rauskürzen?! Nein, was ich meinte hab ich hingeschrieben, du musst nun nur noch wissen, was $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, dann kannst du deinen Grenzwert bestimmen Augenzwinkern

Alpha

09.10.2011, 18:47

oschili

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Also

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \lim_{n \to \infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{1+\frac{2}{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} +\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

=>2

Grenzwert existiert bei 2

09.10.2011, 19:01

Mulder

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RE: Grenzwertbestimmung einer Aufwandsabschätzung
Alpha Centauri wird offline angezeigt, daher zumindest nun ein Einwurf von mir:

Zitat:

Original von oschili
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \lim_{n \to \infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{1+\frac{2}{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} +\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Wir rechnest du denn da? Wenn du für n große Zahlen einsetzt: Gegen Welchen Wert gehen dann Ausdrücke wie 1/n oder 2/n? Und vor allem: Wie teilst du da den Bruch überhaupt auf?

Zitat:

Original von oschili
Grenzwert existiert bei 2

Schon rein intuitiv sollte klar sein, dass das keinen Sinn macht. (n+1)/(n+2) soll gegen 2 gehen? Nur mal so der Nase nach: Wenn du für n gigantisch große Zahlen einsetzen würdest, sollte es sich da wirklich noch auswirken, ob du nun +1 oder +2 addierst? Ist das nicht vielleicht irgendwann völlig egal?

Zudem: Egal, welches n du einsetzt, der Zähler wird immer kleiner sein als der Nenner, oder? Je nachdem, wie n aussieht, kann der Unterschied verhältnismäßig klein oder groß sein. Aber vorhanden ist er. Und da soll dann der Grenzwert 2 sein?

Immer auch so ein bisschen mitdenken und reflektieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von AlphaCentauri
wo möchest du denn $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ rauskürzen?!

Nach dem Ausklammern. War wohl ein Missverständnis, ist ja wohl richtig.

09.10.2011, 20:02

oschili

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Also jetzt nocheinmal langsam:

Mein Rechenweg ist folgender:

$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n+2}) \end{eqnarray*}$

n ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n} * (\frac{1+\frac{1}{n} }{1+\frac{2}{n} }) \end{eqnarray*}$

n/n = 1
$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n \to \infty }1 * (\frac{1+\frac{1}{n} }{1+\frac{2}{n} }) \end{eqnarray*}$

Jetzt den Grenzwert für n-> unendlich betrachten. Einsetzen von 10.000
$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n \to \infty } (\frac{1+\frac{1}{10.000} }{1+\frac{2}{10.000} }) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1+\0,0001 }{1+\frac{2}{0,0002} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} und \frac{1}{n} gehen also gegen 0. \end{eqnarray*}$
Damit ist der Grenzwert =>1

09.10.2011, 20:14

Mulder

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Grenzwert 1 ist richtig. Aber: "Große Zahlen einsetzen" ist als Denkhilfe immer praktisch, aber das ist keine korrekte Bearbeitung der Aufgabe, aufschreiben solltest du das also nicht (hier im Forum ist das natürlich okay, aber in einer Klausur beispielsweise... naja).

Übrigens eine Alternative: Bruch auseinander ziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} = 1- \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Dann steht das Ergebnis auch sofort da. Aber dein Weg ist natürlich ebenso okay.

09.10.2011, 20:21

oschili

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Verstehe nicht so ganz, wie du den Bruch da auseinanderziehst Big Laugh

09.10.2011, 20:25

Mulder

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Also mal ganz ausführlich...

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+2-1}{n+2} = \frac{n+2}{n+2}-\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Komisch, dass es immer wieder an diesen ganz simplen Dingen wie Bruchrechnung und sowas scheitert.

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