Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten

09.10.2011, 17:20

Christian_P

Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten

Ich hab folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x^2+y^2 & = & 89 \\ xy & = & 40 \end{array} \end{eqnarray*}$

die zweite Gleichung mit 2 multipliziert

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x^2+y^2 & = & 89 \\ 2xy & = & 80 \end{array} \end{eqnarray*}$

erste plus zweite Gleichung und erste minus zweite Gleichung

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}(x+y)^2 & = & 169 \\ (x-y)^2 & = & 9 \end{array} \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & \pm 13 \\ x-y & = & \pm 3 \end{array} \end{eqnarray*}$

ergibt vier mögliche Kombinationen

1) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & 13 \\ x-y & = & 3 \end{array} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & -13 \\ x-y & = & 3 \end{array} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & 13 \\ x-y & = & -3 \end{array} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & -13 \\ x-y & = & -3 \end{array} \end{eqnarray*}$

jeweils die erste plus zweite Gleichung und erste minus zweite Gleichung

1) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}2x & = & 16 \\ 2y & = & 10 \end{array} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}2x & = & -10 \\ 2y & = & -16 \end{array} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}2x & = & 10 \\ 2y & = & 16 \end{array} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}2x & = & -16 \\ 2y & = & -10 \end{array} \end{eqnarray*}$

Lösungen:

1) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x & = & 8 \\ y & = & 5 \end{array} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x & = & -5 \\ y & = & -8 \end{array} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x & = & 5 \\ y & = & 8 \end{array} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x & = & -8 \\ y & = & -5 \end{array} \end{eqnarray*}$

Ich glaube das ist ein Kreis von einer Hyperbel(zwei Äste) geschnitten, sind das dann alle Lösungen?
Der Rechenweg erscheint mir ein bisschen aufwendig, gibt es einen kürzeren?

EDIT: Rechenweg überarbeitet

09.10.2011, 17:31

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem an diesem Rechenweg ist, dass er etwas sorglos mit den mehrfachen $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ umgeht - ein Beispiel:

Zitat:

Original von Christian_P
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & \pm 13 \\ x-y & = & \pm 3 \end{array} \end{eqnarray*}$

Warum wird im weiteren z.B. nicht die Kombination

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}x+y & = & 13 \\ x-y & = & -3 \end{array} \end{eqnarray*}$

verfolgt, die zu $\begin{eqnarray*} x=5,y=8 \end{eqnarray*}$ führt, was auch eine Lösung ist? Also alles nochmal überarbeiten!

09.10.2011, 17:56

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

Ooh nein... alles nochmal überarbeiten traurig

Hab den Rechenweg geändert!

09.10.2011, 17:59

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es.

Was den Rechenweg betrifft: Wenn er dir nicht gefällt, kannst du ja auch das übliche Eliminationsverfahren anwenden. D.h. hier, die zweite Gleichung zu $\begin{eqnarray*} y=\frac{40}{x} \end{eqnarray*}$ umformen, in die erste einsetzen

$\begin{eqnarray*} x^2 + \frac{1600}{x^2} = 89 \end{eqnarray*}$ ,

die entstehende Gleichung vierten Grades

$\begin{eqnarray*} x^4 - 89x^2 + 1600 = 0 \end{eqnarray*}$

hat dann vier Lösungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Die zugehörigen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte kriegst du dann jeweils über das obige $\begin{eqnarray*} y=\frac{40}{x} \end{eqnarray*}$ .

09.10.2011, 18:11

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die "herkömmliche" Eliminationsmethode ist vertrauter und wirkt systematischer/mechanischer. Die erste Methode ist eher so nach dem Motto "schau ich mal, was ich nach diesem oder jenem Schritt machen könnte". Aber es ist dennoch eine sehr clevere Methode. Danke für die Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten

Verwandte Themen