Messbare Menge erhält fast ein Intervall

10.10.2011, 09:51

pseudo-nym

Messbare Menge erhält fast ein Intervall

Hallo,

Ich will zeigen, dass jede lebesgue-messbare Menge mit Maß größer Null bis auf eine Nullmenge mindestens ein Intervall enthält.

Ich hatte mir überlegt das Problem auf $\begin{eqnarray*} G_\delta \end{eqnarray*}$ -Mengen zu reduzieren. Diese kann ich als Schnitt $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=0}^\infty A_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ offen darstellen.
Eine Zusammenhangskomponente der $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=0}^n A_i \end{eqnarray*}$ könnte man dann vielleicht mit Nullmengen $\begin{eqnarray*} N_n \end{eqnarray*}$ hinreichend groß bekommen, sodass $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=0}^\infty A_i \cup N_i \end{eqnarray*}$ das gewünschte Intervall enthält.

Dieser Weg gefällt mir allerdings nicht so sehr, da ich das Gefühl habe dass ich schlicht maßtheoretisch aus dem Tritt bin und es einfachere Wege gibt. Seht ihr einen?

10.10.2011, 09:58

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich will zeigen, dass jede lebesgue-messbare Menge mit Maß größer Null bis auf eine Nullmenge mindestens ein Intervall enthält.

Wie siehts denn mit $\begin{eqnarray*} [0,1] \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ aus? Findest Du da ein Interval drin ? Augenzwinkern

Oder verstehe ich da was nicht richtig?

10.10.2011, 10:04

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Ordentlich aufgeschrieben meinte ich folgendes:
Falls A messbar mit $\begin{eqnarray*} \lambda(A) > 0 \end{eqnarray*}$ , so gibt es eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ für welche gilt: $\begin{eqnarray*} [a, b] \subseteq A \cup N \end{eqnarray*}$

10.10.2011, 10:21

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hört sich für mich zu erstmal sinnvoll an die Aussage. Allerdings überlick ich dass Ganze auch nicht vollständig. Ob die $\begin{eqnarray*} G_\sigma \end{eqnarray*}$ Mengen zielführend sind kann ich nicht beurteilen. Das Problem ist wohl, dass die Nullmengen sehr verschieden ausfallen können.

10.10.2011, 12:42

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi pseudo-nym,

Betrachte doch mal eine fette Cantor-Menge: Wäre deine Aussage wahr, so müsste der Abschluss davon ein nichtleeres Inneres haben.

Grüsse

10.10.2011, 22:02

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hab ich wohl ein Leseproblem.

Mein eigentliches Problem ist folgendes. Ich will diese Aufgabe:

Zitat:

*10. Prove the existence of a nonmeasurable set using only the assumption that a choice function exists on every family of pairs.
[Hint1: Work in the Cantor space (the set $\begin{eqnarray*} 2^\omega \end{eqnarray*}$ of all functions $\begin{eqnarray*} a: \omega \to \{ 0,1\} \end{eqnarray*}$ ) with the product measure. Let a ~ b iff $\begin{eqnarray*} a(n) \neq b(n) \end{eqnarray*}$ for only finitely many n's; let [a] be the equivalence classes of a. Let a* be such that a*(n) = 1 iff a(n) = 0. Using choice for the family of all pairs {[a], [a*]}, obtain $\begin{eqnarray*} A \subseteq 2^\omega \end{eqnarray*}$ such that for each x,
(i) $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ if and only if $\begin{eqnarray*} x^* \notin A \end{eqnarray*}$ ;
(ii) if $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ and x ~ y then $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ .
By (ii), if some basic interval is included in A up to a set of measure 0, then every basic interval of the same length is; thus the measure of A would have to be either 0 or 1. On the other hand, A should have the same measure as $\begin{eqnarray*} A^* = \{ x^*: x \in A \} \end{eqnarray*}$ , but $\begin{eqnarray*} A \cup A^* = 2^\omega \end{eqnarray*}$ , a contradiction.

so anpassen, dass ich aus ZF + Ultrafilterlemma eine nicht messbare Menge gewinnen kann.

Dazu habe ich schon einen freien Ultrafilter $\begin{eqnarray*} \mathbb U \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gebaut und will jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \chi_\mathbb U = \left \{ \sum_{i \in A} 2^{-i} : A \in \mathbb U \right \} \end{eqnarray*}$ nicht lebesgue-messbar ist.
$\begin{eqnarray*} \lambda(\chi_\mathbb U) = \frac 12 \end{eqnarray*}$ habe ich bereits gefolgert und da jeder freie Ultrafilter (i) und (ii) erfüllt, wollte ich den Hinweis zu (ii) in der Aufgabe benutzen um $\begin{eqnarray*} \lambda(\chi_\mathbb U) \neq \frac 12 \end{eqnarray*}$ zu schließen.

Nachdem gonnabphd nun meine Interpretation von

Zitat:

By (ii), if some basic interval is included in A up to a set of measure 0, then every basic interval of the same length is; thus the measure of A would have to be either 0 or 1.

als falsch geoutet hat, weiß ich nicht wirklich was der Hinweis mir sagen will.

11.10.2011, 07:40

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hinweis sagt :

Wenn es ein Interval, bis auf eine Nullmenge, innerhalb von A gibt, dann ist jedes Interval der selben Länge in A. Wobei mir nicht ganz genau klar ist was mit "basic" in dem Zusammenhang gemeint ist, also ob das ein formaler Begriff ist.

11.10.2011, 13:28

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich noch eine kleine Frage stellen darf:

Zitat:

Work in the Cantor space (the set $\begin{eqnarray*} 2^\omega \end{eqnarray*}$ of all functions $\begin{eqnarray*} a: \omega \to \{ 0,1\} \end{eqnarray*}$ ) with the product measure.

Wie ist denn das Produktmass im Cantor space überhaupt definiert (und ist die Sigma-Algebra die von den offenen Mengen erzeugte)?

Nimmt man einfach das normalisierte Zählmass $\begin{eqnarray*} \mu_n \end{eqnarray*}$ auf jedem Faktor und definiert dann z.B. für ein offenes Basiselement $\begin{eqnarray*} U = \prod_{n=1}^\infty U_n \end{eqnarray*}$ der Topologie auf $\begin{eqnarray*} 2^\omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu(U) = \prod_{n = 1}^\infty \mu_n(U_n) \end{eqnarray*}$

? (Ich sehe noch nicht ganz, wie das dann auf dem Rest der Sigma-Algebra aussehen müsste, aber sowas wäre eine Möglichkeit.)

Ein basic interval könnte z.B. eine Menge sein, welche unter dem Homöomorphismus von $\begin{eqnarray*} 2^\omega \end{eqnarray*}$ mit der Cantor Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ dem Schnitt eines Intervalles dort mit der Cantor Menge entspricht. Das wäre dann also eine Menge der Form

$\begin{eqnarray*} \{i_1\}\times \dots \times \{i_k\} \times \{0,1\} \times \{0,1\} \times \dots \quad \text{mit $i_1, \dots, i_k \in \{0,1\}$} \end{eqnarray*}$

12.10.2011, 05:36

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube einen Weg gefunden zu haben, der den Cantorraum gänzlich ausspart.

Ich nehme $\begin{eqnarray*} \lambda(\chi_\mathbb U) \geq 0 \end{eqnarray*}$ an und zeige mit (ii) und dem Hinweis, dass für jedes Intervall I gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda(\chi_\mathbb U \cap I) \geq \lambda(I) \lambda(\chi_\mathbb U) \end{eqnarray*}$ , indem ich die Aussage erst für die Intervalle mit rationaler Länge behandle und den Rest mit Stetigkeit von unten erschlage.

Dann habe ich mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 - \lambda(\chi_\mathbb U) \end{eqnarray*}$ , eine Konstante gefunden, welche mir $\begin{eqnarray*} \chi_\mathbb U^C \end{eqnarray*}$ mittels Aufgabe 7.1 im Elstrodt (S. 69) zu einer Nullmenge macht.

Was eure Fragen angeht, weiß ich leider auch nicht mehr. In dem Buch aus dem ich zitiert habe (Jech - Axiom of Choice) werden di Begriffe "basic" und "cantor space" an der Stelle zum ersten Mal erwähnt.

Neue Frage »

Antworten »

Messbare Menge erhält fast ein Intervall

Verwandte Themen