Exp: C -> C stetig

01.01.2007, 14:42

SilverBullet

Exp: C -> C stetig

Tach zusammen,

wir hatten vor nicht all zu langer Zeit in einer Übung die Aufgabe zu beweisen, dass die Expontentialfunktion von C auf C stetig.

Geschafft hatte ich die Aufgabe nicht und die Musterlösung verstehe ich absolut nicht. Will lieber selbst auf ne Lösung kommen und da bräuchte ich ein wenig Hilfe für.

Also Aufgabe : Zeige das $\begin{eqnarray*} exp : \mathbb C -> \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Hmm gut wie gehe ich da ran mein erster Gedanke ist das ich irgendwie unsere Definition von Stetigkeit anwende also :

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(x_0) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid x - x_0 \mid < \delta \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht wie ich anfangen soll unglücklich

Kann mir da jmd auf die Sprünge helfen ?

mfg
Silver

01.01.2007, 15:34

Frooke

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Hallo. Das kommt sehr darauf an, wie ihr die Exponentialfunktion definiert habt. Ein möglicher Weg wäre folgender:

$\begin{eqnarray*} \exp z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Nun gibt es einen Satz, der besagt, dass eine konvergente Serie auf ihrem Konvergenzradius eine stetige Funktion darstellt. In diesem Fall gibt es keine Beschränkung für die Konvergenz, also ist die Serie konvergent für jedes komplexe z. (Das kannst Du einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen).

01.01.2007, 17:23

SilverBullet

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Nun wir hatten wie du gesagt hast :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exp z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$

definiert.

Wir haben auch gesagt das die Folge $\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert.

Was wir jedoch nicht hatten ist "Konvergenzradius" habe mal in wiki nachgeschaut da steht auch was von Konvergenzbereich.
Also so damit dürfte ich leider nicht argumentieren.

Ich muss doch hier irgendwie zeigen das die Funktionen der Funktionsfolge punktweise stetig sind oder ?

01.01.2007, 18:15

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Ein recht kurzer und angenehmer Beweis wird es, wenn man die Funktionalgleichung benutzen darf (siehe in meine Signatur). Habt ihr die denn bewiesen?

01.01.2007, 18:23

SilverBullet

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Jo den haben wir (vielleicht erst dannach bekommen) aber das ist egal ich arbeite ja nach also ist das schon ok wenn das benutzt wird

01.01.2007, 20:28

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ok,es ist doch ein längerer Weg als ich dachte. Für den Beweis,den ich vorschlagen wollte,bräuchte man folgendes:

1) Funktionalgleichung

2)Stetigkeit von exp bei 0

wie sieht es aus mit 2? Hast du das schon oder Ideen?

01.01.2007, 23:08

SilverBullet

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Also 1 ist wie oben schon gesagt klar aber zu 2 hab ich leider garkeine Idee wie ich das zeigen könnte.

Muss ich mir vielleicht ein delta wählen und zeigen dass wenn der Abstand der X-Werte kleiner Delta ist, so sind die Bildpunkte kleiner Epsilon.
Das ist ja auch die Def. der punktweisen Stetigkeit nur das zu realisieren fällt mir hier sehr schwer. unglücklich

02.01.2007, 00:19

Mathespezialschüler

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Seit wann nennt man das denn eigentlich "punktweise Stetigkeit"?!
Habt ihr noch keine gleichmäßige Konvergenz oder die Stetigkeit von Potenzreihen behandelt?
Ansonsten kannst du evtl. eine Restgliedabschätzung machen, analog zu der beim Sinus im anderen Thread.

Gruß MSS

02.01.2007, 09:55

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ok,ich mache mal den Anfang. Für die Restgliedabschätzung gilt:

Für $\begin{eqnarray*} |x|<1+\frac{N}{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|exp(x)-\sum_{n=0}^N~\frac{x^n}{n!}\right| \leq 2\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!} \end{eqnarray*}$

Ich denke das solltet ihr schon bewiesen haben. Der Beweis ist auch nicht so schwer. Für die abschätzung benötigt man die Geometrische Reihe

So, für die Stetigkeit bei 0 gilt jetzt mithilfe der Restgliedabschätzung (für N=0 und |x|<1):

$\begin{eqnarray*} |exp(x)-1|\leq 2\frac{|x|^{0+1}}{(0+1)!}=2|x| \end{eqnarray*}$

Betrachte nun x gegen 0 und fertig.

Für den Beweis der Stetigkeit bei einer beliebigen Stelle gehst du genau so vor. Du benutzt statt der Abschätzungen einfach die Funktionalgleichung

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