Komplexe Zahlen ?

10.10.2011, 19:53	Roberta123456	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen ? Meine Frage: Hallo, komme bei manchen Aufgaben leider nicht weiter... Hier die Aufgaben 1) Berechnen Sie die komlexen zahlen i³, i^4, i^5 und i^6. 2) Bestimmen sie zu der komplexen Zahl z = (x,y) ist nicht gleich (0,0) das inverse Element der Multiplikation in der form (a,b), wobei die Ausdrücke a und b von x und y abhängen. 3) Stellen Sie die Zahlen a) z = (2+3i)/(1-2i) b) z = (i-1)/(i+1) C) z = 1/i d) z = (1/2 + ((Wurzel 3)/2)* i)³ in der Form z= a + ib dar. 4) a) Berechnen sie für z = a + ib die Ausdrücke Betrag von Im (z) und Im(Betrag von z). _ b) Geben sie die inverse Zahl mit Hilfe von Betrag von z und z an. c) Berechnen sie für z = a + ib die Ausdrücke (Betrag z)², z² und Betrag von z². d) Berechnen sie für 2 komplexe zahlen die ausdrücke Betrag von z(Index 1)z(Index 2) und Betrag von z (Index 1) Betrag z(Index 2). 5) Geben sie alle Lösungen der Gleichung z^4 = 16, z ist element von C an. Meine Ideen: also ich habe nun hintereinander multipliziert.. 1 a) i³ = (0,1)(0,1)(0,1) = (ac-bd,ad+bc)(0,1) = (-1,0)(0,1) = (0,-1) b) i^4 = (0,-1)(0,1) = (1,0) c) i^5 = (1,0)(0,1) = (0,1) = i d) i^6 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = i² Ist das so richtig ?? 2) Hier weiß ich nicht weiter... 3) a) z = (2+3i)/ (1-2i) z = (2+3i)(1-2i)^-1 z = 2^0-4i^0+3i^0-6i^1 z = 1-4+3-6i z = -6i b) z = (i-1)/(i+1) z = (i-1)(i+1)^-1 z = i^1+ i^0-i^0-1^0 z = 1 + i c) z = 1/i = 1i^-1 d) z = (1/2 + Wurzel3/2 i)³ z = ( 1/4 + 2 ((Wurzel3)/4)i + 3/4 i² ) (1/2 + Wurzel3/2 i) z = 1/8 + 3,46/8 * i + 3,46/8 * i + 2 * (Wurzel 3 * Wurzel 3)/8 * i² + 3/8 i² + 3 * (Wurzel 3)/8 * i³ z = 5,2/8 i³ + 8,99/8 i² + 6,92/8 i + 1/8 Ist das so richtig oder kann man irgendwo noch weiter rechnen? Nr. 4 a) z = a+ib Im (z) = b Betrag von z = Wurzel(a²+b²) Im (Betrag von z) = 0 Was ist der Betrag von Im(z) ?? b) z = a+ib _ z = a-ib c) (Betrag z)² = (Wurzel a² + b²)² = a²+b² z² = (a+ib)² = a² + 2iab + i²b² Betrag von z² = Wurzel a²+2iab+i²b² Ist das überhaupt richtig?? d) Auch hier weiß ich nicht, wie ich anfangen soll... (2,5)(3,1) = (ac-bd,ad+bc) = (6-5,2+15)= (1,17) Wäre das vielleicht richtig?? Wie geht das dann bei dem Betrag? 5) z^4 = 16 2^4 = 16 -> z = 2 -2^4 = 16 -> z = -2 Gibt es hier noch weitere Lösungen??
10.10.2011, 21:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen ? Also, das ist ja reichlich viel..... zu 1.) da kann man einfach benutzen, dass gilt $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$ , dann ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} i^3=i^2 \cdot i=(-1) \cdot i=-i \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} i^4=i^2 \cdot i^2=(-1)^2=1 \end{eqnarray}$ und so weiter. zu 2.) gesucht ist die Zahl a+bi, für die gilt (x+yi)(a+bi)=1, das kann man einfach ausrechnen. Was du bei 3. gemacht hats kann ich nicht nachvollziehen, man multipliziert üblicherweise den Nenner und Zähler des Bruchs mit dem komplex konjugierten des Nenners. Zu 4.) Es ist $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Im(z)=b \Rightarrow \|Im(z)\|=\|b\| \end{eqnarray}$ , das sollte aber eigentlich klar sein. 4b ist nicht ganz fertig gerechnet, bstimme doch einfach einmal das Inverse einer Zahl $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ , und stelle es dann mit Hilfe des Betrags dar. Bei 4c musst du noch real und Imaginärteil sortieren. $\begin{eqnarray} z^4=16 \end{eqnarray*}$ hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra 4 Lösungen für z, inklusive Vielfachheiten, aner du hast zwei mögliche Lösungen vernachlässigt.

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