Surjektivität, Injektivität bei einfacher Abbildung

10.10.2011, 19:54

KnowingLizard

Surjektivität, Injektivität bei einfacher Abbildung

Q seien die rationalen Zahlen, R die reellen.

Folgende Abbildung ist gegeben:
f: QxQ -> R, f(x,y)=3^(1/2) * x + y.

Wäre folgende Begründung, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, korrekt?:

Es existiert kein x,y aus Q so dass gilt 3^(1/2)*x+y=2^(1/2).

Wie kann ich nun begründen, dass die Abbildung injektiv ist?

Mein Ansatz wäre:
x1,x2,y1,y2 seien Elemente aus Q,
f(x1,y1)=f(x2,y2)
<=> 3^(1/2)*x1+y1 = 3^(1/2)*x2+y2

Nur, wie mache ich dann weiter, wie zeige ich nun die Injektivität? Brauche da insbesondere deshalb Hilfe, weil man hier nun eben ein 2-Tupel einsetzt...

10.10.2011, 20:00

tmo

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Die Surjektivität ist richtig begründet. Evtl. solltest du das aber noch etwas genauer ausführen. Also warum genau gibt es keine solchen Zahlen?

Zur Injektivität: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und 1 linear unabhängig im $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind. Dies liefert die Injektivität.

10.10.2011, 20:06

KnowingLizard

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Zitat:

Original von tmo
Die Surjektivität ist richtig begründet. Evtl. solltest du das aber noch etwas genauer ausführen. Also warum genau gibt es keine solchen Zahlen?

Zur Injektivität: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und 1 linear unabhängig im $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind. Dies liefert die Injektivität.

Könnte ich praktisch sagen, dass alle rationalen Zahlen aus der Bildmenge nur jeweils einmal als Bild vorkommen können, weil diese ja nur für x=0 auftreten können, und alle irrationalen Zahlen jeweils nur einmal als Bild vorkommen können, weil ich für x/=0 mir rationalen x und y mittels f(x,y)=3^(1/2)x+y immer neue irrationale Zahlen bekomme und somit insgesamt jedes Bild nur einmal auftritt?
Oder kann mir jemand einen anderen Lösungsweg ein kleinw enig genauer erklären? Ich bin da grad irgendwie verwirrt...

10.10.2011, 20:15

tmo

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Hast du denn überhaupt Kenntnisse in linearer Algebra? Sonst ist mein Lösungsweg ja eh hinfällig.

Man kann sich aber schnell (direkt aus der Definition von Injektivität) überlegen:

Für die Injektivität reicht es zu zeigen: $\begin{eqnarray*} a\sqrt{3}+b=0 \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nur, wenn $\begin{eqnarray*} a=0=b \end{eqnarray*}$ .

Und das ist nun wirklich nicht schwer zu zeigen.

PS: Die Nicht-Surjektivität kriegt man übrigens auch sehr ellegant über eine Mächtigkeitsargumentation.

10.10.2011, 20:28

KnowingLizard

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Naja, ich bin eher am Anfang meiner linearen Algebra Karriere, d.h. eher dabei, mir Kenntnisse aufzubauen smile

Danke für den Hinweis, werde mal darüber nachdenken.

10.10.2011, 22:09

KnowingLizard

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Zitat:

Original von tmo
Hast du denn überhaupt Kenntnisse in linearer Algebra? Sonst ist mein Lösungsweg ja eh hinfällig.

Man kann sich aber schnell (direkt aus der Definition von Injektivität) überlegen:

Für die Injektivität reicht es zu zeigen: $\begin{eqnarray*} a\sqrt{3}+b=0 \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nur, wenn $\begin{eqnarray*} a=0=b \end{eqnarray*}$ .

Habe darüber nachgedacht, aber wieso reicht es, $\begin{eqnarray*} a\sqrt{3}+b=0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

Ich bin wie gesagt noch am Anfang der linearen Algebra, lineare Unabhängigkeit etc. wurden im allgemeineren Sinne noch nicht behandelt, d.h. gäbe es vielleicht noch eine andere Variante, die Injektivität zu zeigen?

Ich meine, gemäß Definition müsste ich ja auch zeigen können, dass zwei gleiche Funktionswerte nur dann auftreten können, wenn man auch das gleiche 2-Tupel einsetzt, nur, könnte mir jemand sagen, wie man das dann handwerklich zu Ende führt (wenn das denn möglich ist)?

Den betreffenden Ansatz habe ich ja oben schonmal erwähnt. Bei einer ähnlichen Aufgabe für f(x)=x^(1/2) habe ich das nämlich erfolgreich nach dem Schema gemacht, dort ist das aber natürlich simpler, weil es eben keine Tupel gibt.

10.10.2011, 23:09

tmo

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Das führt man genau so zu Ende, wie ich es gesagt habe:

$\begin{eqnarray*} a_1\sqrt{3}+b_1=a_2\sqrt{3}+b_2 \end{eqnarray*}$ führt durch simple Umformung zu $\begin{eqnarray*} (a_1-a_2)\sqrt{3}+(b_1-b_2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun obiges noch zeigt, folgt also $\begin{eqnarray*} a_1-a_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1-b_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Genau das, was man erreichen will.

Das geht also auch ohne lineare Algebra. Die lineare Algebra ist in diesem Fall nur ein Mittel, um das ganze etwas elleganter aussehen zu lasen. Es ist aber eigentlich alles total elementar.

11.10.2011, 06:51

KnowingLizard

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Okay, vielen, vielen Dank, eigentlich ganz simpel smile

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