Folgen

01.01.2007, 18:06

phoney

Folgen

Hallo zusammen,

Ich soll zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \ge 1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \ge 1} \end{eqnarray*}$ Folgen sind, sodass jeweils unendlich viele Folgenglieder von Null verschieden und alle Folgenglieder Elemente der Menge {0,1} sind und

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n} = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{2^n} \end{eqnarray*}$

dann gilt $\begin{eqnarray*} a_n = b_n \end{eqnarray*}$ für alle n=1,2,3,....

Wie sollte es auch anders sein?...

Also die Folgenglieder nehmen nur den Wert 0 und 1 an, nicht aber 0,5 oder 0,4. Das habe ich doch so richtig verstanden?

Wie kann man das am besten zeigen? Also als Beweisart fällt mir nur der Widerspruchsbeweis ein.

Für $\begin{eqnarray*} a_n \not= b_n \end{eqnarray*}$ muss also gelten $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n} \not= \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe hier gar nicht, was ich machen soll.
Ich verstehe auch nicht, warum b_n nicht anders sein darf, ich meine, sagen wir wir mal a_n selbst ist die Folge:

0+1+0+1+0+1... usw

und b_n

1+0+1+0+1+0...

Da kommt dann am Ende doch dasselbe heraus und a_n ist nicht gleich b_n.

Also es würde mir schon wahnsinnig helfen, wenn ich das Kriterium genannt bekomme, mit dem ich arbeiten kann.

Viele Grüße
phoney

01.01.2007, 18:14

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgen
Ich gebe dir mal die Stichworte "Koeffizientenvergleich" und "Reihenumordnung". Damit sollte die Aufgabe kein Problem mehr sein.

01.01.2007, 18:42

phoney

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht wirklich.

Bei Wikipedia finde ich nichts unter Reihenumordnung und in meinen Vorlesungsunterlagen habe ich lediglich zur Reihenumordnung stehen, dass man eine Folge natürlicher Zahlen (also n_1, n_2,....), in der jede natürliche Zahl nur einmal auftritt, dass dann die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{k=1} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ eine Umordnung der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ ist

Damit kann ich jetzt aber überhaupt nichts anfangen.

Dazu haben wir auch nichts bewiesen, gemacht oder hergeleitet.

Und nu soll ich a_n_k als Teilfolge behandeln verwirrt

Und wenn ich später auf

$\begin{eqnarray*} a_1/2^1+a_2/2^2+a_3/2^3+.... = b_1/2^1+b_2/2^2+b_3/2^3+... \end{eqnarray*}$

komme, sage ich einfach, dass sich aus einem Koeffizientenvergleich ergibt:

a_1 = b_1, a_2=b_2,...

folglich a_n = b_n

Schon einmal nicht schlecht, damit habe ich das Ergebnis :-)

01.01.2007, 18:54

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz

D.h. dass man eine Reihe i.a. nicht einfach so umordnen darf. Wenn die Reihe aber eine gewisse Voraussetzung erfüllt, so hat die Umordnung keinen Einfluss auf den Reihenwert. Und welche Voraussetzung das ist, wirst du mir aber gleich sagen. Augenzwinkern

01.01.2007, 19:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual Space
Was hat das Ganze mit Umordnungen zu tun?

Gruß MSS

01.01.2007, 19:35

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Dual Space
Was hat das Ganze mit Umordnungen zu tun?

Zugegeben hab ich den Gedanken noch nicht ganz zu ende gedacht, aber da in den Voraussetzungen der Aufgabe an keiner Stelle Monotonie der Folgen gefordert wird muss man ein wenig mehr zu rate ziehen, um komponentenweise Gleichheit der Folgenglieder zu erhalten.

Oder hast du eine bessere Idee?

01.01.2007, 20:14

phoney

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dual Space
D.h. dass man eine Reihe i.a. nicht einfach so umordnen darf. Wenn die Reihe aber eine gewisse Voraussetzung erfüllt, so hat die Umordnung keinen Einfluss auf den Reihenwert. Und welche Voraussetzung das ist, wirst du mir aber gleich sagen. Augenzwinkern

Beschränktheit der Folge a_n?
Bzw. dass die Reihe konvergiert?

01.01.2007, 20:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Widerspruchsbeweis mit etwas Abschätzen sollte ausreichen.
@phoney
Nein, die Reihe muss absolut konvergieren.

Gruß MSS

01.01.2007, 20:31

phoney

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also ich muss erst einmal absolute Konvergenz der Reihe nachweisen, und dann die Reihe nach oben abschätzen - auf was für einen Widerspruch soll ich da kommen? Ich nämlich nur, wie man eine Reihe mit gegebenen Werten abschätzt unglücklich

Na gut, das wird vermutlich nach dem selben Schema funktionieren, aber inwiefern sollte ich da einen Widerspruch deuten können?

Schöne Grüße
phoney

01.01.2007, 20:40

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht zeigen, dass die Reihe konvergiert. Das war von mir nur auf diese Sache mit den Umordnungen bezogen. Es geht auch ohne das. Und da brauchst du, wie gesagt, nur etwas abschätzen.
Nimm an, es wären nicht alle Glieder gleich. Dann gibt es ein minimales $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_m\neq b_m \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du o.B.d.A. sagen, dass $\begin{eqnarray*} a_m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_m=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Dann folgt aber:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}=\sum_{n=1}^{m-1}~ \frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}\leq \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Die rechte Seite kannst du ja jetzt mal selbst ausrechnen. Und dann überlegst du nochmal genau. Augenzwinkern

Gruß MSS

02.01.2007, 08:21

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Arghs .... Sorry! Ich habe bisher den Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Nenner ignoriert. Forum Kloppe

Tja wer lesen kann ist halt klar im Vorteil - und Reihenumordnung braucht man hier tatsächlich nicht.

02.01.2007, 11:33

phoney

Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}=\sum_{n=1}^{m-1}~ \frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}\leq \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .
Die rechte Seite kannst du ja jetzt mal selbst ausrechnen.

Ne, kriege ich leider nicht hin.

Das einzige, was mir zu Reihenberechnung einfällt ist die geometrische Reihe

dann habe ich z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=0}\frac{b_n}{2^n} = \sum^{\infty}_{n=0}b_n*(\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nie, was ich mit dem b_n machen sollte, aber

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=0} (\frac{1}{2})^n=\frac{1}{1-0.5}=2 \end{eqnarray*}$

Der Häufungswert von b_n sei b.

Dann würde sich doch ergeben

b*2 als Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=0}\frac{b_n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist das b_m einmal Null, also ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2 \ge \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 > \sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \ge \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Also das mit den Grenzen macht mir Probleme, ich habe keine Ahnung, wie man das mit m-1 berechnen kann.

Also "Ergebnis" hätten wir ja für:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{b_1}{2^1}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3}+...+\frac{b_{m-2}}{2^{m-2}}+\frac{b_{m-1}}{2^{m-1}} \end{eqnarray*}$

Und wie sollte man das Zusammenfassen? Vermutlich gar nicht, also ist meine Idee ja schon einmal falsch traurig

Neue Frage »

Antworten »

Folgen

Verwandte Themen