Tangentialebene - Richtungsableitung

10.10.2011, 21:08	horstj	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialebene - Richtungsableitung Hallo, ich hab hier eine Frage, bei der mir leider niemand helfen konnte. Ich werd nicht so richtig schlau aus den Richtungsableitungen. Also folgendes Problem. Ich habe eine Raumfläche mit den beiden unabhängigen Variaben x;y in impliziter Form. $\begin{eqnarray} f\left(x;y;z\right)= x^{2}y^{2}z^{2}+2xz^{3} -18=0 \end{eqnarray}$ Nun ist die Tangentialebene im Punkt P(1;2;-3) gesucht. Soweit kein Problem beim Aufstellen dieser in impliziter Form. Ergebnis stimmt. $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx} = 2xy^{2}z^{2}+2y^{3} - > 'P'einsetzen: 18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dy} = 2x^{2}yz^{2} - > 'P'einsetzen: 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dz} = 2x^{2}y^{2}z+6xy^{2} - > 'P'einsetzen: 30 \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 18(x-1)+36(y-2)+30(z+3)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3(x-1)+6(y-2)+5(z+3)=0 \end{eqnarray}$ Als nächstes soll ich aber noch die Richtungsableitung im Punkt P in Richtung des Vektors, der von Q1(1;2;0) nach Q2(4;2;0) läuft, bilden. Wie gehe ich hier jetzt logisch vor? Ich weiß, dass ich den Vektor (3;0;0) bilde. Wie eine Richtungsableitung gebildet wird, ist mir auch klar. Partielle Ableitungen bilden und mit dem jeweiligen Einheitsvektor multiplizieren. Das Problem ist, was nehme ich für partielle Ableitungen. Hier komme ich nicht weiter, weil mir die Thematik nicht vollständig klar ist. Um die Tangentialebene aufzustellen, muss ich die Ausgangsgleichung ja jeweils partiell nach x,y,z ableiten. Warum kann ich hier nicht einfach den Punkt P einsetzen (wie auch für die Tangentialebene) und die Werte 18,36,30 dann mit dem Einheitsvektor multiplizieren? Wieso muss ich erst die entstandene Tangentialebene nach 'z' auflösen und den Einheitsvektor in 'x' und 'y' einsetzen? Das ist für mich irgendwie unlogisch. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke

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