Relationen

10.10.2011, 23:03

Matzemathiker

Relationen

Hallo hab die Aufgabe aus einem Thread aufgeschnappt. Würde das gerne lösen, hab nur noch zweifel an der Genauigkeit meiner Lösung.

Welche der Eigenschaften (r),(s),(t),(as) besitzt die relation R:= $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)\in \mathbb R^{2}|x+y = x\cdot y \right\} \end{eqnarray*}$

ZUr Reflexivitär und der Symmetrie wurde schon aufgelöst. Es ist auch nicht transitiv, da $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \neq 3 \cdot 3 \end{eqnarray*}$

antisymmetrie bin ich mir nicht sicher, weil ich antisymmetrie noch nicht verstanden habe traurig

12.10.2011, 14:48

Matzemathiker

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hab ich hier irgendwas falsch gemacht?

12.10.2011, 15:26

weisbrot

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dein beweis für die nicht-transitivität ist mir nicht klar.
da die relation symmetrisch ist, kannst du direkt sagen, dass sie nicht antisymmetrisch ist.
lg

12.10.2011, 15:34

Mathewolf

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Meines Erachtens ja, denn

$\begin{eqnarray*} \left(\frac32,\frac32\right)\not\in R \end{eqnarray*}$ .

Überleg dir erst einmal, welche Elemente die Relation R überhaupt hat.

12.10.2011, 17:37

Matzemathiker

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stimmt, das mit der symmetrie hat unser dozent auch gesgat, dass wenn es symmetrisch ist, nicht antisymmetrisch sein kann.
ich wollte bei der transitivität auch ein gegenbeispiel nennen. hmm sorry ich schnall das nicht wie ich das mit der gleichung zeigen kann? so an sich verstehe ich aber die transitviität

12.10.2011, 18:03

weisbrot

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sei a~b , es gilt auch b~a , aber nicht a~a (für alle a ungleich 1/2), also nicht transitiv. lg

12.10.2011, 21:12

Matzemathiker

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von iorek:

Wir haben festgestellt, dass die Relation nicht reflexiv aber symmetrisch ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall (x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R \end{eqnarray*}$ . Angenommen die Relation wäre transitiv, dann folgt damit $\begin{eqnarray*} \forall (x,y)\in R\stackrel {\text{sym.}}\Rightarrow (y,x)\in R \stackrel {\text{trans.}}\Rightarrow (x,x)\in R \end{eqnarray*}$ . Da wir wissen, dass die Relation nicht reflexiv ist, lässt sich da doch bestimmt ein schönes Gegenbeispiel zu finden (es ist also bisher nicht gezeigt, dass die Relation transitiv/nicht transitiv ist, du kannst mit dieser Folgerungskette aber bestimmt ein leichtes Gegenbeispiel konstruieren).

meinst du für alle a ungleich 2 ?

warum hat er das dann so kompliziert gemacht, wenn das so einfach ist?!

12.10.2011, 21:22

Matzemathiker

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Es sei A= $\begin{eqnarray*} \left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$

Ergänze die Relation $\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right), \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \subset AxA \end{eqnarray*}$ mit möglichst wenigen zusätzlichen Elementen zu einer Ordnungsrelation

Also muss sie auf reflexiv, antisymmetrie und transitiv erhöht werden.

12.10.2011, 21:26

Matzemathiker

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$\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(a,b\right), \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \end{eqnarray*}$

fertig , oder?

12.10.2011, 21:29

weisbrot

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oh ja meinte a ungleich 2. er hats doch nicht groß anders gemacht als ich, aber da man vorher weis, dass es nicht reflexiv ist, reicht das von mir gezeigte aus. musst du ihn fragen warum ers "komlpiziert" gemacht hat. lg

12.10.2011, 21:30

Iorek

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Zitat:

Original von Matzemathiker
von iorek:
warum hat er das dann so kompliziert gemacht, wenn das so einfach ist?!

Da der Thread im Hochschulbereich stand, finde ich das nicht unbedingt "kompliziert", es ist vielmehr eine (genaue) Anleitung, wie man sich ein Gegenbeispiel konstruieren kann (wo ich im weiteren Verlauf des Threads auch noch ca. 80% von geleistet habe). Soviel Einsatz sollte man noch fordern dürfen.

12.10.2011, 21:34

Matzemathiker

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Gibt es eine Partition zur Relation $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(a,a\right),\left(a,b\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(d,d\right) \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Hiesst das es mus eine Relatio geben, die genau diesselben eigenschaften haben und die Tupel enthalten?

da sie ja nur refelxiv ist, denke ich, ja.

das wäre $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right)\right\} \end{eqnarray*}$

???

12.10.2011, 21:36

Matzemathiker

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von Matzemathiker
von iorek:
warum hat er das dann so kompliziert gemacht, wenn das so einfach ist?!

ist auch vollkommen in ordnung von dir nur ich habe selbst nicht mehr wirklich durchgeblickt und am ende war es dann doch einfacher als vermutet.

12.10.2011, 21:56

weisbrot

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(a,b\right), \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \end{eqnarray*}$

fertig , oder?

das ist denke ich nicht ganz richtig.

Zitat:

Gibt es eine Partition zur Relation $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(a,a\right),\left(a,b\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(d,d\right) \right\} \end{eqnarray*}$ ?

zu jeder nichtleeren menge gibt es eine partition..

12.10.2011, 22:12

Matzemathiker

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$\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(a,b\right),\left(b,a\right) , \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \end{eqnarray*}$

so habe noch (b,a) eiingefügt. jetzt sollte es aber fertig sein.

zu den partitionen, heisst also, ich könnte jeden tupel einzeln als partition darstellen nur als beispiel ?

12.10.2011, 22:30

weisbrot

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ich denke es fehlt noch (c,b).

Zitat:

zu den partitionen, heisst also, ich könnte jeden tupel einzeln als partition darstellen nur als beispiel ?

du könntest z.b. eine partition wie folgt finden:

P:={{(a,a)},{(a,b)},{(b,b)},{(c,c)},{(d,d)}}

falls du sowas meintest. bin mir aber nicht sicher ob das wirklich in deiner aufgabe so gefragt ist, wie gesagt, zu jeder nichtleeren menge gibts ne partition.

lg

13.10.2011, 23:33

Matzemathiker

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klar, hab's jetzt auzch gesehen. c,b fehlte Augenzwinkern

ahso , so ist also die schreibweise für partitionen?

also hätte ich auch als Partition, z.B.:

P:={{(a,a)},{(b,b)},{(c,c)}}

schreiben können ?

14.10.2011, 12:39

weisbrot

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Zitat:

also hätte ich auch als Partition, z.B.:

P:={{(a,a)},{(b,b)},{(c,c)}}

nein! eine partition ist, grob gesagt, eine vollständige(!), disjunkte zerlegung einer menge in teilmengen von ihr. (wiki - definition)
lg

17.10.2011, 22:42

Matzemathiker

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verstehe:

z.b. P:={{(a,a),(a,b)},{(b,b)},{(c,c),(d,d)}}

und noch viele andere variationen
danke!!

17.10.2011, 23:03

Matzemathiker

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hi bin fast mit den relationen durch: habe nur noch drei aufgaben die ich gerne mit euch hier besprechen würde wenn es euch weiterhin nichts ausmacht:

also ich bin bei einer aufgabe , die ein ePartition eines Menge vorgibt und man soll daraus die Äquivalenzrelation bilden.
Aufgabe:
Welche Äquivalenzrelation gehört zur Partition mit den Mengen {a,c},{b},{d,e}

ich habe folgendes raus: also die menge der partition ist M= {a,b,c,d,e}
und aus MxM ensteht dann

$\begin{eqnarray*} R_{M} = \left\{ \left(a,a\right) \left(b,b\right) \left(c,c\right) \left(d,d\right) \left(e,e\right) \left(a,b\right) \left(b,c\right) \left(a,c\right) \left(c,d\right) \left(d,e\right) \left(c,e\right) \left(b,a\right) \left(c,b\right) \left(c,a\right) \left(d,c\right)\left(e,d\right) \right\} \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 20:34

Matzemathiker

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hallo, wollt euch nur nach Rat fragen , ob ich die oben genannte aufgabe richtig gelöst habe?

19.10.2011, 20:44

Matzemathiker

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welche eigenschaften hat die relation $\begin{eqnarray*} a \sim b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} : \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a^{2}+b=a(b+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} auf \mathbb N \end{eqnarray*}$

meine antwort auf jeden fall reflexivund symmetrisch

23.10.2011, 16:02

Matzemathiker

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kann mch jemand hier vielleicht unterstützen, war mir seit tagen nichzt sicher, ob ich mit der aufgabe richtig liege??

23.10.2011, 22:08

weisbrot

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hallo!
ein tip: für a ungleich 1 ist das die gleichheitsrelation (kannst du durch umformen leicht herausfinden). lg

23.10.2011, 22:22

Matzemathiker

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Zitat:

Original von Matzemathiker
welche eigenschaften hat die relation $\begin{eqnarray*} a \sim b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} : \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a^{2}+b=a(b+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} auf \mathbb N \end{eqnarray*}$

meine antwort auf jeden fall reflexivund symmetrisch

also reflexiv: $\begin{eqnarray*} a^{2} + a = a (a + 1) \Leftrightarrow a^{2} + a = a^{2} + a \end{eqnarray*}$

dies ist schonmal reflexiv

symmetrie: nur wenn $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ , also dann nicht

27.10.2011, 15:38

Matzemathiker

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hatte ich das nicht eigentlich mit der rechung gezeigt, dass die Relation reflexiv ist, wenn ich a ungleich 1 nehme, dann ist die Gleichung nicht gegeben. abrew was ist denn unn richtig?

02.11.2011, 17:43

Matzemathiker

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Zitat:

Original von weisbrot
ich denke es fehlt noch (c,b).

ich denke nicht, alsi ich sage dass hier reicht aus :

Es sei A= $\begin{eqnarray*} \left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$

Ergänze die Relation $\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right), \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \subset AxA \end{eqnarray*}$ mit möglichst wenigen zusätzlichen Elementen zu einer Ordnungsrelation

Also muss sie auf reflexiv, antisymmetrie und transitiv erhöht werden.
Matzemathiker

$\begin{eqnarray*} R= \left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(c,c\right), \left(a,b\right),\left(b,a\right) , \left(b,c\right), \left(a,c\right), \left(c,a\right) \right\} \end{eqnarray*}$

02.11.2011, 21:38

Matzemathiker

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Auf ZxZ ist mit (a,b) (c,d) : $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ a+d = b + c eine Relation gegeben:

a) Beweise , dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
b) Gesucht ist die Menge aller Paare (x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z x Z mit (x,y) $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ (4,1)
c) WEclhe elementaren Rechenoperationen steckt hinter dieser Äquivalenzraltion?

zu a) zu zeigen ist dann ja , ob es reflexiv, symmtrisch und transitiv ist.

zu (r) a+a = a+a
zu (s) a+d = b+c und d+a = c+b

da bei der addition das kommutativ Gesetz gilt, daher symmetrisch

zu (t) habe ich ein probelm. ich weiss auch nicht ob ich die beiden andren eigenschaften so richtig begründet habe

zu b) das wäre... (2,-1), (4,1), (6,3), (8,5)... aldo irgendwas mit mod 2 ?

zu c) mache ich mir noch gedanken vielleicht könnt ihr mir auf die sprünge helfen oider habe ich das mit modulo schon gedsgt?

danke

04.11.2011, 16:22

Matzemathiker

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Hallo,

ist einer von euch eventuell so hilfreich und kann mich bei dieser Aufgabe unterstützen?

Danke

04.11.2011, 17:54

weisbrot

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hallo mal wieder!

bei dem mit dem (c,b) hab ich mich wohl geirrt, hab irgendwie an symmetrie gedacht..sry
bei der anderen hast du symmetrie richtig gezeigt, reflexivität aber nicht. zu dem rest schreib ich morgen vielleicht nochmal was, hab jetzt keine zeit.
lg

27.11.2011, 17:00

Matzemathiker

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hallo ich habe hier eine Aufgabe wobei ihr mir vielleicht behilflich seion könntet:

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z x \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right):\Leftrightarrow a+ d = b+c \end{eqnarray*}$ eine Relation gegeben!

a) ich soll zeigen, dass es sich hierbei um eine Äquivalenzrelationhandelt

b) gescuht sind die mengen aller paare (x,y) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z x \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right)\sim \left(4,1\right) \end{eqnarray*}$
c)welche elemntare rechenoperation steckt hinter dieder ÄR

zu a) weiss ich , man soll auf reflexivität,symmetrie und transitivität überprüfen
b) durch ausprobieren mit a+ 1 = b+4
c)?

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