Induktionsaufgabe

11.10.2011, 12:23

HansimGlück

Induktionsaufgabe

Hallo,

nach langer Zeit melde ich mich wieder mit einer Induktionsfrage:

Es soll gelten für:
n=1+2+3+...

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+....+n= \frac{1}{8} * (2n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Die Fragestellung lautet:
Der Induktionsschritt lässt sich zeigen - tun sie dies. Stimmt die Aussage? Wenn nein, begründen Sie dies!

Ich scheitere schon beim Induktionsanfang. Ich habe für n bis 6 laufen lassen und keine Übereinstimmung gefunden.

Wie verfahre ich weiter?

Danke im Voraus

11.10.2011, 12:27

Helferlein

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Da die Aussage falsch ist, wirst Du auch keinen Induktionsanfang finden, was genau der "Witz" dieser Aufgabe ist.

Laut Aufgabentext sollst Du ja auch nur den Induktionsschritt zeigen (Also Wenn es ein n gäbe für das die Aussage stimmt, dann wäre sie auch für n+1 gültig) und meine eben getroffene Aussage begründen.

11.10.2011, 12:42

HansimGlück

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Der Schritt sieht bei mir wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+....+n+(n+1)= \frac{1}{8} * (2n+1)^2+(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{8} * (4n^2+4n+1)+(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+4n+1)}{8} +(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+12n+9)}{8} \end{eqnarray*}$

Welche Erkenntnis habe ich hierdurch bzw. wieso kann ich nun begründen, dass es falsch ist?

11.10.2011, 12:57

HansimGlück

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Wenn ich nun beim "gelösten" Schritt für n=1 einsetze.

Dann erhalte ich 3 = 3. Laut dir, ist dadurch bewiesen, dass es auch für n+1 gültig ist? Wieso begründet dies jedoch, dass die Aussage falsch ist?

11.10.2011, 13:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+12n+9)}{8} \end{eqnarray*}$

Welche Erkenntnis habe ich hierdurch bzw. wieso kann ich nun begründen, dass es falsch ist?

Hier fehlt noch der Schritt: $\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+12n+9)}{8} = \frac{(2n+3)^2}{8} \end{eqnarray*}$

Damit hast du den 2. Teil eines Beweises mit vollständiger Induktion durchgeführt. Aber so ein Beweis ist wertlos ohne den Induktionsanfang.

11.10.2011, 13:09

weisbrot

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da helferlein offline ist..

also beim induktionsschritt bist du natürlich noch nicht fertig. du musst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{1}{8}\cdot (2(n+1)+1)^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Welche Erkenntnis habe ich hierdurch bzw. wieso kann ich nun begründen, dass es falsch ist?

dadurch hast du nicht gezeigt, dass die aussage falsch ist. les dir doch mal durch was helferlein geschrieben hat.

Zitat:

Wenn ich nun beim "gelösten" Schritt für n=1 einsetze.

Dann erhalte ich 3 = 3.

das glaube ich nicht.

Zitat:

Laut dir, ist dadurch bewiesen, dass es auch für n+1 gültig ist? Wieso begründet dies jedoch, dass die Aussage falsch ist?

nein, wie helferlein schon geschrieben hat, das ist ein beispiel für eine aussage bei der du den induktionsschritt zeigen kannst, aber keinen induktionsanfang finden kannst, weshalb sie nicht gilt.

11.10.2011, 15:17

HansimGlück

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Danke euch Dreien für die Antworten!

Klarsoweit:
$\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+12n+9)}{8} = \frac{(2n+3)^2}{8} \end{eqnarray*}$
Wieso ist dieser Schritt denn notwendig? Aus "Formgründen"?

Zitat:

Original von weisbrot

also beim induktionsschritt bist du natürlich noch nicht fertig. du musst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{1}{8}\cdot (2(n+1)+1)^2 \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, aber das kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Verständnisfrage:
Was genau mache ich beim Induktionsschritt? Da versuche ich doch die linke Seite auf n+1 Form zu bringen und entsprechend muss ich die rechte Seite mit selben Ausdruck erweitern und dann die rechte Seite so umformen, dass ich die Behauptung beweisen kann?
Stimmt das?

11.10.2011, 17:59

Helferlein

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Ein Induktionsbeweis besteht aus zwei Phasen:

1. Induktionsanfang
Hier zeigst Du, dass es ein n gibt, für das die zu beweisende Aussage gültig ist, indem Du verschiedene Zahlen einsetzt. Sobald Du eine gefunden hast, für die die Aussage zutrifft, bist Du fertig mit dieser Phase.

2. Induktionsannahme und -schritt
In dieser Phase zeigst Du, dass die Aussage für n+1 gilt, wenn sie denn für den Vorgänger n gültig ist.

Nur beide Phasen zusammen umfassen einen vollständigen Beweis. Eine allein beweist gar nichts.

Nehmen wir an die 1.Phase war erfolgreich, die zweite aber nicht.
Dann haben wir zwar die Aussage für ein bestimmtest n gezeigt, aber nicht, dass sie für den Nachfolger gilt. Sie ist also z.B. für n=3 gültig, nicht aber für n=4 und damit natürlich nicht für alle n. (Bsp: n²+1<n+8)

Nehmen wir an die 2.Phase ist erfolgreich, aber die 1. nicht.
Dann haben wir zwar eine Kette, aber leider keinen Anfang. Die Aussage würde gelten, wenn sie irgendwo beginnen würde. Das tut sie aber leider nicht. Also haben wir wieder nicht gezeigt, dass die Aussage für beliebige n gilt.

12.10.2011, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von HansimGlück
Klarsoweit:
$\begin{eqnarray*} = \frac{(4n^2+12n+9)}{8} = \frac{(2n+3)^2}{8} \end{eqnarray*}$
Wieso ist dieser Schritt denn notwendig? Aus "Formgründen"?

Wenn du in die rechte Seite deiner Gleichung das n durch (n+1) ersetzt, dann kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)^2}{8} \end{eqnarray*}$ . Mit deinem Umformungen mußt du also auf diesen Term kommen und nicht auf einen Term, der zwar inhaltlich dem $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)^2}{8} \end{eqnarray*}$ entspricht, aber optisch anders aussieht.

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