unendlich viele Primzahlen - Seite 2

12.10.2011, 17:20

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} N= \prod_{i=1}^k q_i^{e_i} \end{eqnarray*}$

Jedes dieser $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ kann geschrieben werden als $\begin{eqnarray*} q_i=6k+c \end{eqnarray*}$ für geeignetes k und c. Insbesondere für die c haben wir nur eine geringe Auswahl.
Und daraus können wir folgern, dass ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form 6k-1(bzw. 6k+5) existiert.

12.10.2011, 17:24

Steffen2361

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sehe ich das richtig das für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nur \ $\begin{eqnarray*} left\{ 1,2,3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ in frage käme und desshalb

Zitat:

dass ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form 6k-1(bzw. 6k+5) existiert.

12.10.2011, 17:25

Steffen2361

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sehe ich das richtig das für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ in frage käme und desshalb

Zitat:

dass ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form 6k-1(bzw. 6k+5) existiert.

12.10.2011, 17:33

galoisseinbruder

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Wir können das c sogar noch weiter einschränken auf $\begin{eqnarray*} c \in \{1,5\} \end{eqnarray*}$ (warum?) und damit
das Gewünschte

Zitat:

dass ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form 6k-1(bzw. 6k+5) existiert.

zeigen.

12.10.2011, 17:45

steffen2361

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naja weil wir nur primzahlen haben, die die form 6k+5 bzw 6k+1 haben

mfg

12.10.2011, 17:52

galoisseinbruder

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Ja, eine Primzahl kann nur eine der beiden Formen annehmen.
Warum muss mindestens ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} 6k+5 \end{eqnarray*}$ sein?
(könnte man z.B. dadurch beweisen, dass man den anderen Fall ausschließt)

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12.10.2011, 18:01

steffen2361

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fragen über fragen.....

aber ich schätze mal, dass anso.sten etwas fehlen würde....

wie das genau geht kann ich dir (hoffentlicb) erst in ein paar stunden sagen da ich jetz vorlesung habe bis 20

mfg
danke für alles bis hierhin smile

smile

13.10.2011, 09:47

Steffen2361

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Nur zum Verständins wir probieren folgendes

Zuerst nehmen wir an, dass es endlich viele Primzahlen gibt $\begin{eqnarray*} ( p_1,... p_s ) \end{eqnarray*}$

Und dann wie im Satz von Euklid wird ein $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s +1 \end{eqnarray*}$

Nur das in unserem Fall die Primzahlen die Form 6k+5 haben und somit dies erhalten

$\begin{eqnarray*} N=( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i}) +1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ prim, $\begin{eqnarray*} e_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Habe ich das richtig verstanden?

-------------------------------------------------------------------------
Und nun zu deiner Frage "Warum muss mindestens ein $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} 6k+5 \end{eqnarray*}$ sein? "

Ich habe einfacch mal folgendes ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} (6k+1)²= 36k²+12k+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6k+1)(6k+5) = 36k² +36k+5 = 4(9k²+9k+1)+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6k+5)²= 36k²+60k+25= 4(9k²+25k+6)+1 \end{eqnarray*}$

hmmm verwirrt

verwirrt

13.10.2011, 10:12

Steffen2361

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Ha mir ist gerade eingefallen, wenn

$\begin{eqnarray*} N=( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i}) +1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ prim, $\begin{eqnarray*} e_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

meine Darstellung der einer $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s= q_i \end{eqnarray*}$ beliebig.

Nach dem $\begin{eqnarray*} a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(b-c) \end{eqnarray*}$ :

Also

$\begin{eqnarray*} q_i|( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i}) +1 \wedge q_i|( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i}) \end{eqnarray*}$

Dann müsste auch

$\begin{eqnarray*} q_i|(( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i}) +1 - ( \prod_{i=1}^k q_i^{e_i})) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt durch subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} q_i|+1 \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist

verwirrt

verwirrt

13.10.2011, 10:46

Steffen2361

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Zitat:

Original von Steffen2361

$\begin{eqnarray*} (6k+1)(6k+5) = 36k² +36k+5 = 4(9k²+9k+1)+3 \end{eqnarray*}$

da Folgt natürlich

$\begin{eqnarray*} (6k+1)(6k+5) = 36k² +36k+5 = 4(9k²+9k+1)+1 \end{eqnarray*}$

13.10.2011, 11:52

ollie3

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hallo steffen,
da der galoisbruder im moment nicht da ist, werde ich mich weiter um dich kümmern.
Dein fehler ist, das du immer wild darauflos rechnest, und da kommt leider viel murks
heraus. verwirrt

verwirrt

Also, der schlüssel zum glück ist immer noch die zahl $\begin{eqnarray*} N= 6(p_1\dotsb p_s)-1<br /> \end{eqnarray*}$ . Guck dir diese zahl genau an, kann sie durch irgendeine der p´s teilbar sein.
Und was bedeutet das dann für das N ? Was kann man daraus für schlüsse ziehen?
gruss ollie3

13.10.2011, 13:22

steffen2361

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Naja eigentlich nicht, da

$\begin{eqnarray*} N= 6(p_1\dotsb p_s)-1<br /> \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} p_k \in (p_1 \dotsb p_s) \end{eqnarray*}$

dann würde

$\begin{eqnarray*} p_k|6(p_1\dotsb p_s) \end{eqnarray*}$ aber nicht $\begin{eqnarray*} p_k|(-1) \end{eqnarray*}$
meinst du das so??

mfg

13.10.2011, 14:05

ollie3

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hallo steffen,
also ich glaube, das dir zu viele wichtige voraussetzungen fehlen, um den beweis
durchführen zu können, anscheinend liegen dir solche teilbarkeitssachen nicht,
glaube auch, das du den vorbeweis von euklid, das es unendlich viele primzahlen
gibt, auch nicht richtig verstanden hast, denn viele sachen von diesem beweis
kann man hierauf übertragen.
Eigentlich schade, hatte gehofft, das wir die sache heute zuende machen können, im prinzip kann man den beweis in 3 zeilen hinschreiben.
Brauche jetzt erstmal pause, werde dir später weitere tipps zu lösung geben,
aber du bist echt anstrengend.(seufz)
gruss ollie3

13.10.2011, 16:02

Steffen2361

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So,nach langem hin und her habe ich den ultimativen Beweiß smile

smile

Zuerst sei gesagt, dass das Produkt zweier Zahlen der Gestalt 6k+5 und 6l+1 von der Gestalt 6k+1 ist:

$\begin{eqnarray*} (6k+1)(6l+1) = 36k² +6k+6l+1 = 6(6kl+k+l)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (6k+5)(6l+5) = 36kl +30k+30l+25 = 6(6kl+5k+5l+4)+1 \end{eqnarray*}$

Nun Angenommen es gebe nur endlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,....p_k \end{eqnarray*}$ der Gestalt 6k+5. Dann betrachte ich $\begin{eqnarray*} N:=6(p_1 \dotsb p_k)-1 \end{eqnarray*}$ , die ebenfalls die Gestalt 6k+5 sein muss.
Sei nun N die Primfaktorenzerlegung $\begin{eqnarray*} N= q_1 \dotsb q_s \end{eqnarray*}$ .

Hätten $\begin{eqnarray*} q_1,...., q_s \end{eqnarray*}$ alle die Gestalt 6k+1,so würde das auch für N gelten (tut es aber nicht, da N ja die Gestalt 6k+5 hat). Also $\begin{eqnarray*} \exists j \in \left\{ 1,...s\right\} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q_j \end{eqnarray*}$ eine andere Gestalt hat.
Da ich $\begin{eqnarray*} 6k +c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c \in \left\{0,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ ausschließen kann bleibt nur 6k+5 übrig. Daher muss q_j die Gestalt 6k+5 haben.

(6k+1)(6l+5) = 36k² +30k+6l+5 = 6(6kl+5k+l)+5 (Passt also)

Folglich $\begin{eqnarray*} \exists i \in \left\{ 1,...r\right\} : q_j = p_i \Rightarrow q_j|N \wedge q_j|6(p_1\dotsb p_k) \end{eqnarray*}$
Nach der Rechenregel $\begin{eqnarray*} a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(b-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_j|(N-6(p_1\dotsb p_k)) \end{eqnarray*}$ d.h aber weiters $\begin{eqnarray*} q_j|(-1) \end{eqnarray*}$ Widerspruch

PS: Wenn es das nicht is, dann schmeiß ich den Hut darauf smile

smile

Danke für alles

13.10.2011, 16:20

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Steffen2361
So,nach langem hin und her habe ich den ultimativen Beweis smile

smile

Zuerst sei gesagt, dass das Produkt zweier Zahlen der Gestalt 6k+5 und 6l+1 von der Gestalt 6k+1 ist:

$\begin{eqnarray*} (6k+1)(6l+1) = 36k² +6k+6l+1 = 6(6kl+k+l)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (6k+5)(6l+5) = 36kl +30k+30l+25 = 6(6kl+5k+5l+4)+1 \end{eqnarray*}$

Nun Angenommen es gebe nur endlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,....p_k \end{eqnarray*}$ der Gestalt 6k+5. Dann betrachte ich $\begin{eqnarray*} N:=6(p_1 \dotsb p_k)-1 \end{eqnarray*}$ , die ebenfalls die Gestalt 6k+5 sein muss.
Sei nun N die Primfaktorenzerlegung $\begin{eqnarray*} N= q_1 \dotsb q_s \end{eqnarray*}$ .

Hätten $\begin{eqnarray*} q_1,...., q_s \end{eqnarray*}$ alle die Gestalt 6k+1,so würde das auch für N gelten (tut es aber nicht, da N ja die Gestalt 6k+5 hat). Also $\begin{eqnarray*} \exists j \in \left\{ 1,...s\right\} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q_j \end{eqnarray*}$ eine andere Gestalt hat.
Da ich $\begin{eqnarray*} 6k +c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c \in \left\{0,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ ausschließen kann bleibt nur 6k+5 übrig. Daher muss q_j die Gestalt 6k+5 haben.

(6k+1)(6l+5) = 36k² +30k+6l+5 = 6(6kl+5k+l)+5 (Passt also)

Passt alles, keinerlei Einwände.

Zitat:

Folglich $\begin{eqnarray*} \exists i \in \left\{ 1,...r\right\} : q_j = p_i \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Woraus versuchst Du das zu folgern?
Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} q_j \neq p_i \quad \forall i \end{eqnarray*}$ ,denn
falls $\begin{eqnarray*} q_j=p_i \end{eqnarray*}$ für ein i gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} q_j | N \wedge q_j | 6(p_1 \cdots p_k) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nach der Rechenregel $\begin{eqnarray*} a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(b-c) \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} q_j | 1 \end{eqnarray*}$ , ein Widerspruch.
Also ist q_j eine neue Primzahl, und wir haben somit unendlich viele.

13.10.2011, 16:43

Steffe2361

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Zitat:

Folglich $\begin{eqnarray*} \exists i \in \left\{ 1,...r\right\} : q_j = p_i \end{eqnarray*}$
Das ist falsch. Woraus versuchst Du das zu folgern?

habe ich aus diesem Skriptum abgeschaut (satz 14)
http://www.facebook.com/ajax/messaging/a...QBMxDfwi_HKG88d

Zitat:

Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} q_j \neq p_i \quad \forall i \end{eqnarray*}$ ,denn falls $\begin{eqnarray*} q_j=p_i \end{eqnarray*}$ für ein i gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} q_j | N \wedge q_j | 6(p_1 \cdots p_k) \end{eqnarray*}$ .

Hier verstehe ich den zusammenhang nicht. Wie würde es weiter gehen wenn $\begin{eqnarray*} q_j \neq p_i \quad \forall i \end{eqnarray*}$ wäre verwirrt

verwirrt

mfg
Danke

13.10.2011, 16:49

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Steffe2361

Zitat:

Folglich $\begin{eqnarray*} \exists i \in \left\{ 1,...r\right\} : q_j = p_i \end{eqnarray*}$
Das ist falsch. Woraus versuchst Du das zu folgern?

habe ich aus diesem Skriptum abgeschaut (satz 14)
http://www.facebook.com/ajax/messaging/a...QBMxDfwi_HKG88d

In Skripten steht viel... Da ich facebook verabscheuungswürdige kann ichs nicht nachprüfen.

Zitat:

Zitat:

Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} q_j \neq p_i \quad \forall i \end{eqnarray*}$ ,denn falls $\begin{eqnarray*} q_j=p_i \end{eqnarray*}$ für ein i gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} q_j | N \wedge q_j | 6(p_1 \cdots p_k) \end{eqnarray*}$ .

Hier verstehe ich den zusammenhang nicht. Wie würde es weiter gehen wenn $\begin{eqnarray*} q_j \neq p_i \quad \forall i \end{eqnarray*}$ wäre verwirrt

verwirrt

Entschuldige den bayrischen Konjunktiv; Richtig ist.(das nach dem Komma ist der zugehörige Widerspruchsbeweis)

13.10.2011, 16:53

Steffe2361

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Ach ok jetzt ist es klar smile

smile

Perfekt danke dir für alles smile

smile

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