unendlich viele Primzahlen

11.10.2011, 12:26

Steffen2361

unendlich viele Primzahlen

Meine Frage:
Hi,

Ich soll fogendes beweißen

"Es gibt unendlich viele Primzahlen der Gestalt 6k + 5"

Ich bin dankbar für jede Antwort

Meine Ideen:
hmm

als erstes hätte ich die Angabe "umgeformt"

"Es gibt unendlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray*} \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$ "

Nun gut ich nehme jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} p_{1}.....p{s] \end{eqnarray*}$ alle meine Priumzahlen $\begin{eqnarray*} \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$ sind.

nur wie geht man jetzt weiter voran??

mfg

11.10.2011, 13:07

galoisseinbruder

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RE: unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Original von Steffen2361
Nun gut ich nehme jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} p_{1}.....p_{s} \end{eqnarray*}$ alle meine Priumzahlen $\begin{eqnarray*} \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$ sind.

Die Idee den Beweis von Euklid zu modifizieren ist gut und zielführend.
Schön wärs wenn wir aus den $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ was mit Restklasse $\begin{eqnarray*} 5 \mod 6 \end{eqnarray*}$ basteln könnten.

11.10.2011, 13:08

ollie3

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RE: unendlich viele Primzahlen
hallo steffen,
was du beweisen sollst, nennt man den dirichlet-schen primzahlsatz. Tatsache
ist, das jede primzahl nur die form 6k+1 oder 6k+5 haben kann, alles andere
ist unmöglich, wie man sich leicht überlegen kann. Wie man das konkret beweisen kann, weiss ich leider auch nicht.
gruss ollie3

11.10.2011, 13:13

ollie3

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RE: unendlich viele Primzahlen
hallo,
guter tip vom galoisbruder, habe jetzt auch eine beweisidee Freude

11.10.2011, 15:07

Steffen2361

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RE: unendlich viele Primzahlen
Ok,

Ich habe mir folgendes überlegt (großteils mit Hilfe von Wikipedia)

Ich nehme ein $\begin{eqnarray*} N:= 4(p_{1}...p_{s}) +1 \end{eqnarray*}$

würde nun $\begin{eqnarray*} p \in P \end{eqnarray*}$ N teilen ( p|N).

Dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kein Element aus $\begin{eqnarray*} \left\{ 2,p_{1}...p_{s}\right\} \Rightarrow p \equiv 1(6) \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung ob dies überhaupt etwas hilft bzw. richtig ist.... verwirrt

Wie könnten mir die Restklassen dabei helfen?

mfg

11.10.2011, 15:18

galoisseinbruder

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RE: unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Original von Steffen2361

Ich nehme ein $\begin{eqnarray*} N:= 4(p_{1}...p_{s}) +1 \end{eqnarray*}$

Das ist der Ansatz um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4k+1 gibt.

Zitat:

Dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kein Element aus $\begin{eqnarray*} \left\{ 2,p_{1}...p_{s}\right\} \Rightarrow p \equiv 1(6) \end{eqnarray*}$

Ich sehe weder warum das gelten sollte, noch was es bringen soll.
Elementares Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} N= 4 \cdot 5+1=21 \end{eqnarray*}$
3 teilt weder 2 noch 5 noch gilt $\begin{eqnarray*} 3\equiv 1 \mod 6 \end{eqnarray*}$
Zu den Restklassen: Man kann Deine Aufgabenstellung auch so formulieren:
Es gibt unendlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray*} p \text{ mit } p \equiv 5 \mod 6 \end{eqnarray*}$

11.10.2011, 15:37

Steffen2361

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RE: unendlich viele Primzahlen
Dachte ich mir schon, dass das nicht wirklich zusammen passt....

Aber zum Verständnis meinerseits, wäre dann:

$\begin{eqnarray*} N:= 4(p_{1}...p_{s})² +3 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Form $\begin{eqnarray*} 4x +3 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} N:= 6(p_{1}...p_{s})² +1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} 6x+1 \end{eqnarray*}$

Kann man das so sagen??

Nun weiter zu den Restklassen:

Könnten Sie mir noch einen Tipp dazu geben?

mfg

11.10.2011, 15:44

galoisseinbruder

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RE: unendlich viele Primzahlen
Zuallererst: Wir Duzen uns hier, wie auch unter den meisten Mathematikern üblich.
(Und ich komm mir beim Siezen immer so alt vor)

Zitat:

Original von Steffen2361

$\begin{eqnarray*} N:= 4(p_{1}...p_{s})² +3 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Form $\begin{eqnarray*} 4x +3 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} N:= 6(p_{1}...p_{s})² +1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} 6x+1 \end{eqnarray*}$

Kann man das so sagen??

Ja kann man machen, das Quadrat ist allerdings nicht nötig. Mit dem für unseren Fall geeigneten N können wir das Ganze hier auch weitermachen.

Zu den Restklassen: Sind hier nicht nötig,
meines Erachtens erleichtern diese aber sowohl das Schreiben als auch das Denken. Aufgrund solcher Formulierungen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$

und auch dem letzen Thread ging ich davon aus, dass die Ringe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gut bekannt sind

11.10.2011, 15:58

Steffen2361

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RE: unendlich viele Primzahlen
Obwohl mir die Ringe bekannt sind, bitte ich dich, wenn sie nicht nötig sind, mir eventuell nachher nur kurz zu zeigen was du damit meintest.

Also ich hätte noch einen anderen Ansatz

Angenommen $\begin{eqnarray*} (p_{1}²*p_{2}²***p_{s}² +1) = 6k+5 \end{eqnarray*}$ sind endlich viele Primzahlen,

nun ist $\begin{eqnarray*} p_{i} \in \left\{1,2,3...s\right\} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} p_{i}² = 36s² +60s +25 \Rightarrow 6(6s²+10s+4)+1 \Rightarrow 6(k) +1 \end{eqnarray*}$ für k= 6s²+10s+4

mfg

11.10.2011, 16:09

galoisseinbruder

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RE: unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Original von Steffen2361
Obwohl mir die Ringe bekannt sind, bitte ich dich, wenn sie nicht nötig sind, mir eventuell nachher nur kurz zu zeigen was du damit meintest.

Kein Problem.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (p_{1}²*p_{2}²***p_{s}² +1) = 6k+5 \end{eqnarray*}$

unter der Voraussetzung, dass alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ungerade sind (eigentlich sogar von der Form 6k+5) stimmt das nicht, die Linke Seite ist dann gerade die Rechte Seite ungerade.

Zitat:

nun ist $\begin{eqnarray*} p_{i} \in \left\{1,2,3...s\right\} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} p_{i}² = 36s² +60s +25 \Rightarrow 6(6s²+10s+4)+1 \Rightarrow 6(k) +1 \end{eqnarray*}$ für k= 6s²+10s+4

Hier komm ich aus mehreren Gründen nicht mit.
Hauptsächlich: man kann nur Aussagen folgern, keine Terme.

Ich halte es für sinnvoller $\begin{eqnarray*} N:= 6(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{s}) +5 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

11.10.2011, 16:15

tmo

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@galoisseinbruder: Bei deinem N müsste man (wenn ich mich nicht irre und man sich anders aus dem Sumpf ziehen kann) noch zeigen, dass N keine 5er-Potenz ist. Das ist, wenn auch nicht schwer, unnötige Mehrarbeit, die einem bei $\begin{eqnarray*} (p_1\dotsb p_s)^2+4 \end{eqnarray*}$ erspart bleibt smile

11.10.2011, 16:17

Steffen2361

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RE: unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Ich halte es für sinnvoller $\begin{eqnarray*} N:= 6(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{s}) +5 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Sehr gut, dann hätte ich/wir mal einen Ansatz smile

aber wie komme ich mit diesem Ansatz weiter??

Soll ich versuchen ein $\begin{eqnarray*} p \in P \end{eqnarray*}$ zu finden, dass N teilt?

oder

Hilft mir eventuell der Satz von Wilson weiter?
$\begin{eqnarray*} (p-1)! \equiv -1(p) \end{eqnarray*}$

mfg

11.10.2011, 16:29

ollie3

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RE: unendlich viele Primzahlen
hallo steffen,
also der ansatz vom galoisbruder ist genial, und jetzt versuch mal, die überlegungen vom bekannten beweis, das es unendlich viele primzahlen gibt,
auf diesen ansatz zu übertragen, dann wird dir die erleuchtung kommen. smile

11.10.2011, 16:37

Steffen2361

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RE: unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Original von ollie3
hallo steffen,
.... und jetzt versuch mal, die überlegungen vom bekannten beweis, das es unendlich viele primzahlen gibt,
auf diesen ansatz zu übertragen...... smile

Welchen bekannten Beweiß meinst du?

11.10.2011, 16:38

galoisseinbruder

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@tmo: Sollte relativ schnell gehen:
Annahme: $\begin{eqnarray*} N=5^n \quad n \geq 2, \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} 6(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{s}) =5^n-5=5 \cdot (5^{n-1}-1) \end{eqnarray*}$ , d.h. ein $\begin{eqnarray*} p_i=5 \end{eqnarray*}$ , was wir aber verhindern können indem wir 5 in der Konstruktion nicht zulassen.
Das sollte funktionieren,oder?
Außerdem kommt mir gerade, dass ich ursprünglich $\begin{eqnarray*} N:=6(p_1 \cdots p_s)-1 \end{eqnarray*}$ verwenden wollte, bei dem man das Problem nicht hat, dachte dann aber dass man dann die geforderte Darstellung weniger gut sieht. Memo an mich: Nicht improvisieren.
Du hast recht $\begin{eqnarray*} (p_1\dotsb p_s)^2+4 \end{eqnarray*}$ ist in der Hinsicht angenehmer, aber dafür müssten wir etwas mehr in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ rumrechnen, was Steffen2361 wohl nicht so zusagt.
@Steffen2361: Satz von Wilson hilft nichts, wir haben keine Fakultäten.
N hat als natürliche zahl eine (eindeutige) Primfaktorzerlegung, was können wir über diese Primfaktoren sagen?

11.10.2011, 16:46

Steffen2361

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Über die Primfaktorenzerlegung kann man sagen, dass

$\begin{eqnarray*} (p_1\dotsb p_s) \end{eqnarray*}$ als Produkt N ist

also $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (p_1,..... p_s) \end{eqnarray*}$ jeweils prim und teiler von N sind.

hmm verwirrt

ich geh mal eine Runde laufen, dass ich wieder einen klaren Kopf bekomme....

11.10.2011, 18:01

galoisseinbruder

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Wir wolten ja $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s +5 \end{eqnarray*}$ oder geschickter aber vielleicht etwas weniger anschaulich $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s-1 \end{eqnarray*}$ setzen.

11.10.2011, 18:18

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
@tmo: Sollte relativ schnell gehen:
Annahme: $\begin{eqnarray*} N=5^n \quad n \geq 2, \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} 6(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{s}) =5^n-5=5 \cdot (5^{n-1}-1) \end{eqnarray*}$ , d.h. ein $\begin{eqnarray*} p_i=5 \end{eqnarray*}$ , was wir aber verhindern können indem wir 5 in der Konstruktion nicht zulassen.
Das sollte funktionieren,oder?

Muss meine eigene Frage negativ beantworten: Man kann nicht verhindern, dass die 5 zu irgendeinem Zeitpunkt in der Konstruktion auftaucht (z.B. wenn man mit $\begin{eqnarray*} p_1=11 \end{eqnarray*}$ beginnt).
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} 5^{n-1}-1 \end{eqnarray*}$ durch 4 teilbar $\begin{eqnarray*} 6(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{s}) \end{eqnarray*}$ jedoch nicht, da die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ alle ungerade sind .
Dank an tmo für den entsprechenden Hinweis.

12.10.2011, 10:28

Steffen2361

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Zuerst einmal ein großes Dankeschön für die ganzen Antworten smile

Ok ich versuche es nocheinmal

Ich nehme indirekt an, dass es endlich viele Primzahlen gibt $\begin{eqnarray*} p_1\dotsb p_s \end{eqnarray*}$ .

Nun nehme ich mir $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s-1 \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} l \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l:= (p_1\dotsb p_s) -1 \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} l \in N \end{eqnarray*}$ kann keine Primzahl sein. Daher ist es durch einen Primfaktor $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ teilbar.

$\begin{eqnarray*} \frac{l}{p_k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in Z (Z:= Ganze Zahlen) \end{eqnarray*}$

jetzt setze ich von oben ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{ (p_1\dotsb p_s) -1}{p_k} \end{eqnarray*}$

und spalte auf in $\begin{eqnarray*} \frac{ (p_1\dotsb p_s)}{p_k} + \frac{ (-1)}{p_k} \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich schon den Widerspruch.

Denn $\begin{eqnarray*} \frac{ (p_1\dotsb p_s)}{p_k} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} \in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ (-1)}{p_k} \end{eqnarray*}$ ist kein Element aus $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$

Daher ist die Zusammensetzung auch kein Element aus Z und daher ein Widerspruch.

Somit gibt es endlich viele Primzahlen.

ist das so richtig??

mfg

PS: Leider wusste ich nicht wie man eine geschwungene Klammer unter Termen. bzw wie ein "kein Element" Zeichen schreibt.

12.10.2011, 10:32

tmo

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Das ist der Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen.

Es ging hier aber um die Unendlichkeit der Primzahlen vom Typ $\begin{eqnarray*} 6k+5 \end{eqnarray*}$ .

Du erkennst selbst, dass du das in deinem Beweis mit keinem Wort erwähnt hast. Entsprechend kann der Beweis also dafür nicht taugen.

12.10.2011, 10:36

Steffen2361

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Wir wolten ja $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s +5 \end{eqnarray*}$ oder geschickter aber vielleicht etwas weniger anschaulich $\begin{eqnarray*} N := p_1\dotsb p_s-1 \end{eqnarray*}$ setzen.

und zweiteres habe ich verwendet....

12.10.2011, 11:05

ollie3

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hallo steffen,
das tut mir ja so leid, das du so durcheinander gekommen bist, aber nimm
dir den tip vom galoisbruder zu herzen und guck dir den term
6(p1*p2*...*pk) +5 genauer an und überlege dir, wie man einen widerspruch
erzeugen kann, wenn p1 bis pk die einzigen primzahlen der form 6n+5 sind.
gruss ollie3

12.10.2011, 11:21

Steffen2361

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Also stimmt meine Beweiß führung von oben nicht??

@ollie3

meintest du diesen Weg:

$\begin{eqnarray*} 6(p1*p2*...*pk)² +5 = (6p1*p2*...*pk)² \equiv -5(p) \end{eqnarray*}$

und jetzt beuntz ich das Quadratisches Reziprozitätsgesetz:

$\begin{eqnarray*} (\frac{-5}{p}) = (\frac{-1}{p})(\frac{5}{p} ) \end{eqnarray*}$

weiters folgt:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac{p-1}{2}} (\frac{5}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}} (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{3-1}{2}} (\frac{p}{5} =(\frac{p}{5} ) \end{eqnarray*}$

Wäre $\begin{eqnarray*} p \in \left\{ 2,3,4,\right\} = (-1) \end{eqnarray*}$ also ein Widerspruch

Bin ich am richtigen Weg??

mfg

12.10.2011, 11:25

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Steffen2361

Zitat:

und zweiteres habe ich verwendet....

Sorry, das war ein Tippfehler.
Ich hatte aber vorher doch mehrmals auf
$\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )+5 \end{eqnarray*}$ verwiesen, und wir uns glaub ich sogar darauf geeinigt, dass wir dieses N betrachten wollen.
Etwas geschickter ist allerdings $\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 \end{eqnarray*}$ .
Und Dein Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen ist leider ziemlicher murks.

12.10.2011, 11:35

ollie3

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hallo steffen,
ich meinte das viel elementarer, wollte das beweisschema für die unendlichkeit
der primzahlen auf diesen term übertragen.
gruss ollie3

12.10.2011, 11:36

galoisseinbruder

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Ich hau jetzt hier mal die Bremse rein.
Wir betrachten ab jetzt folgende Situation:
Seien $\begin{eqnarray*} p_1, \ldots p_s \end{eqnarray*}$ s Primzahlen der Form 6k+5.
Wir konstruieren daraus eine weitere Primzahlen der Form 6k+5 indem wir

$\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 \end{eqnarray*}$ .

betrachten (das müsse,n wir noch richtig ausführen).
Das zeigt uns dann, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6k+5 gibt (warum das so ist sollten wir noch begründen)

Und jetzt noch ein persönlicher, etwas allgemeiner Tipp :
Steffen, Du schmeißt offenbar sehr gern mit Sätzen um Dich; das ist in aller Regel nicht zielführend und lenkt vom wahren Umstand ab, warum etwas gilt. Der Beweis hier ist ziemlich elementar und auch mit elementaren Mitteln einfach zu führen.

12.10.2011, 11:43

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ok,...

Stimmen denn diese umformung bzw. ist das ein richtiger schritt zu Lösung?

Nun ja da $\begin{eqnarray*} p= 6k +5 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} p \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$ und daher gilt auch $\begin{eqnarray*} p \equiv -1(6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 = 6( p_1\dotsb p_s ) \equiv 1(p) \end{eqnarray*}$

mfg

12.10.2011, 11:49

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p= 6k +5 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} p \equiv 5(6) \end{eqnarray*}$ und daher gilt auch $\begin{eqnarray*} p \equiv -1(6) \end{eqnarray*}$

das ist richtig

Zitat:

$\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 = 6( p_1\dotsb p_s ) \equiv 1(p) \end{eqnarray*}$

das dagegen ist es nicht, $\begin{eqnarray*} 6 ( p_1\dotsb p_s )-1 = 6( p_1\dotsb p_s ) \end{eqnarray*}$
ist falsch.

Schau Dir doch mal http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid an, dort ist der Beweis den wir hierfür leicht modifizieren wollen.

12.10.2011, 15:48

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Also angenommen es gibt endich viele Primzahlen. $\begin{eqnarray*} ( p_1\dotsb p_s ) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} n= 6 ( p_1\dotsb p_s ) -1 = ( 6p_1\dotsb 6p_s ) -1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} p_k \in ~\mathbb P \wedge p_k|n \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} p_k| ( 6p_1\dotsb 6p_s ) -1 \end{eqnarray*}$

Nun dieses wiederrum aufteilen in $\begin{eqnarray*} p_k|( 6p_1\dotsb 6p_s ) \wedge p_k|(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_k|( 6p_1\dotsb 6p_s ) \end{eqnarray*}$ ist korrekt da $\begin{eqnarray*} p_k \in ( 6p_1\dotsb 6p_s ) \end{eqnarray*}$

aber zweiteres ist ein Widerspruch da $\begin{eqnarray*} p_k|(-1) \end{eqnarray*}$ nicht teilt

Ist das so richtig??

mfg smile

12.10.2011, 15:53

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Entscheidende fehlt einfach.

Warum teilt denn eine dieser endlich vielen Primzahlen unsere neue Zahl?

Es könnte doch sein, dass diese neue Zahl plötzlich nur noch von Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} 6k+1 \end{eqnarray*}$ geteilt wird, weilche gar nicht in unserer Aufzählung berücksichtigt sind.

12.10.2011, 16:01

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry das so hart sagen zu müssen,
Du machst massive Fehler bei grundlegenden Sachen:

Zitat:

Original von Steffen2361
Sei $\begin{eqnarray*} n= 6 ( p_1\dotsb p_s ) -1 = ( 6p_1\dotsb 6p_s ) -1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, es gilt: $\begin{eqnarray*} ( 6p_1\dotsb 6p_s ) = 6^s (p_1 \cdots p_s) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Steffen2361
Dann $\begin{eqnarray*} p_k| ( 6p_1\dotsb 6p_s ) -1 \end{eqnarray*}$ Nun dieses wiederrum aufteilen in $\begin{eqnarray*} p_k|( 6p_1\dotsb 6p_s ) \wedge p_k|(-1) \end{eqnarray*}$

Es gilt nicht: $\begin{eqnarray*} p |a+b \Rightarrow p|a \wedge p|b \end{eqnarray*}$
Gegenbsp.: $\begin{eqnarray*} 5|2+3, 5\not|2\wedge 5\not| 3 \end{eqnarray*}$

Und wir wollen keinen Widerspruch erzeugen sondern ein $\begin{eqnarray*} p_{s+1} \end{eqnarray*}$ finden.

12.10.2011, 16:12

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke galoisseinbruder, dass war echt wichtig.

Aber in dem link den du mir geschickt hast geht es um den Satz von Euklid und seinen Beweiß der in einem Widerspruch endet...

Wieso brauchen wir jetzt keinen Widerspruch dafür aber ein $\begin{eqnarray*} p_{s+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{s+1} \end{eqnarray*}$ damit nehme ich an wir suchen eine Zahl die größer ist, als die größte endliche Primzahl verwirrt

mfg

12.10.2011, 16:27

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Widerspruch ist in dem Fall nicht das entscheidende für unseren fall besser anwendbar ist das was unter Anwendungen steht bzw. im Beweisarchiv.

Außerdem wollten wir doch so vorgehen, oder gibt´s da Bedenken?

Zitat:

Wir betrachten ab jetzt folgende Situation: Seien $\begin{eqnarray*} p_1, \ldots p_s \end{eqnarray*}$ s Primzahlen der Form 6k+5. Wir konstruieren daraus eine weitere Primzahl der Form 6k+5 indem wir $\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 \end{eqnarray*}$ . betrachten (das müssen wir noch richtig ausführen). Das zeigt uns dann, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6k+5 gibt (warum das so ist sollten wir noch begründen)

12.10.2011, 16:36

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Außerdem wollten wir doch so vorgehen, oder gibt´s da Bedenken?

haha nein, nein bedenken gibt es bei deinen Fähigkeiten überhaupt nicht.

Also gut.

Wenn ich das richtig verstanden habe soll ich daraus $\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 \end{eqnarray*}$ eine weiter Primzahl basteln.

Diese wäre $\begin{eqnarray*} s \in ~\mathbb P ,s = 6k-1 \end{eqnarray*}$

mfg

12.10.2011, 16:40

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

N ist eine natürliche Zahl und hat als solche eine Primfaktorzerlegung. Was können wir über die Primfaktoren sagen?

12.10.2011, 16:46

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn N natürlich ist, dann wäre p ein Primfaktor, wenn p prim und ein Teiler von N ist

mfg

12.10.2011, 16:48

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist: können wir ein $\begin{eqnarray*} p|N \end{eqnarray*}$ finden von der Form $\begin{eqnarray*} p=6k-1 \end{eqnarray*}$ finden?

12.10.2011, 16:53

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja schon, da $\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p_s )-1 \end{eqnarray*}$

da alle meine Primzahlen die vorm 6k-1 haben kann man auch schreiben

$\begin{eqnarray*} N :=6 ( (6k-1)_1\dotsb (6k-1)_s )-1 \end{eqnarray*}$

und da sollte man schon ein $\begin{eqnarray*} p=6k-1 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} p|N \end{eqnarray*}$

mfg

12.10.2011, 17:01

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffen2361
$\begin{eqnarray*} N :=6 ( (6k-1)_1\dotsb (6k-1)_s )-1 \end{eqnarray*}$

und da sollte man schon ein $\begin{eqnarray*} p=6k-1 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} p|N \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht was Du damit meinst, aber weise mal prophylaktisch darauf hin , dass N so gewählt ist, dass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ N nicht teilen.

$\begin{eqnarray*} N= \prod_{i=1}^k q_i^{e_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ prim, $\begin{eqnarray*} e_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Von welcher Form sind die $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ ? (also $\begin{eqnarray*} q_i=6k+c \end{eqnarray*}$ )

12.10.2011, 17:15

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich hätte einfach $\begin{eqnarray*} p= 6k-1 \end{eqnarray*}$ gesetzt und dies dann hier eingefügt, desshalb wird aus $\begin{eqnarray*} N :=6 ( p_1\dotsb p)_s )-1 \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} N :=6 ( (6k-1)_1\dotsb (6k-1)_s )-1 \end{eqnarray*}$

Scheint aber sowieso falsch zu sein
-------------------------------------------------------------------------
Wie meinst du das mit der Form

$\begin{eqnarray*} N= \prod_{i=1}^k q_i^{e_i} = {(6k+c)_1}^{e_1}\dotsb {(6k+c)_k}^{e_k}) \end{eqnarray*}$

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