Fixpunktsatz von Banach Beweis

11.10.2011, 20:05

Cpt. Raven

Fixpunktsatz von Banach Beweis

Hi,

hierbei handelt es sich um eine alte Klausuraufgabe...:

Zitat:

Formulieren und beweisen Sie den Fixpunktsatz von Banach!

Meine Ideen:

Formulierung:

Sei $\begin{eqnarray*} (M,d) \end{eqnarray*}$ vollständiger metrischer Raum, f: M->M Kontraktion. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt, d.h. einen Punkt $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(a) = a \end{eqnarray*}$ .
Genauer: nimmt man einen beliebigen Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \in M \end{eqnarray*}$ und definiert $\begin{eqnarray*} x_{n+1} := f(x_n) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergent und es gilt $\begin{eqnarray*} lim x_n = a \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Ja... Folgende Struktur hab ich mir überlegt:

Zeige: $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge
Zeige Eindeutigkeit
Zeige $\begin{eqnarray*} lim x_n = a \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Die Punkte 2 und 3 sind ja schnell abgehandelt:

z.z. (2)

Angenommen, es gäbe zwei Fixpunkte a und b, sodass f(a) = a und f(b) = b.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} d(a,b) = d(f(a),f(b)) \leq \lambda d(a,b) \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} \lambda \in (0,1) \end{eqnarray*}$ , da f Kontraktion.

z.z. (3)

Sei die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ schon gezeigt und $\begin{eqnarray*} a := lim x_n \end{eqnarray*}$ . Da Kontraktionen stetig sind, folgt:

$\begin{eqnarray*} f(a) = f(lim x_n) = lim f(x_n) = x_{n+1} = a \end{eqnarray*}$

Bleibt z.z. (1), aber da bin ich mir nicht so sicher, ob mein Ansatz da so passt.

Mein Ansatz:

Sei o.B.d.A. n > m.

Da f Kontraktion $\begin{eqnarray*} \exists \lambda \in (0,1) \end{eqnarray*}$ sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} d(x_n, x_m) \stackrel{Def.}{=} d(f(x_{n-1}), f(x_{m-1}) \stackrel{f Kontr.}{\leq} \lambda d(x_{n-1}, x_{m-1}) = d(f(x_{n-2}), f(x_{m-2}) \leq ... \leq \lambda^m d(x_{n-m},x_0) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt der Teil, bei dem ich mir nicht mehr sicher bin, ob ich das so folgern kann.

Sei weiterhin o.B.d.A. n > m.

$\begin{eqnarray*} d(x_m, x_n) \stackrel{d \text{ Metrik auf M}}{\leq} d(x_m, x_{m+1}) + d(x_{m+1}, x_{m+2}) + ... + d(x_{n-1}, x_n) = \sum_{k=0}^{n-m-1} d(x_{m+k}, x_{m+k+1}) \end{eqnarray*}$

Wegen der Definition der rekursiven Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-m-1} d(x_{m+k}, x_{m+k+1}) \stackrel{Def.}{=} \sum_{k=0}^{n-m-1} d(f(x_{m+k-1}), f(x_{m+k})) \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt, weil f eine Kontraktion ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-m-1} d(f(x_{m+k-1}), f(x_{m+k})) \leq \lambda \sum_{k=0}^{n-m-1} d(x_{m+k-1}, x_{m+k}) \stackrel{Def.}{=} \lambda \sum_{k=0}^{n-m-1} d(f(x_{m+k-2}), f(x_{m+k-1})) \end{eqnarray*}$

Was wiederrum kleiner gleich ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda \sum_{k=0}^{n-m-1} d(f(x_{m+k-2}), f(x_{m+k-1}) \leq \lambda^{n-2} d(x_1,x_0) + \lambda^{n-1} d(x_1,x_0) + ... + \lambda^{m-1} d(x_1,x_0) = d(x_1,x_0) + \sum_{k=m-1}^{n-2} \lambda^k \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ , da geometrische Reihe.

Kann ich das so folgern und wäre damit die Konvergenz gezeigt?

Dankeschön für jegliche Hilfe im Voraus!

11.10.2011, 20:08

Cpt. Raven

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Das am Ende soll kein + zwischen $\begin{eqnarray*} d(x_1,x_0) \end{eqnarray*}$ und der Summe sein. Soll ein Malpunkt sein. Augenzwinkern

11.10.2011, 20:34

ThomasFF

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Hallo,

das scheint zu passen. Ist zwar nicht der Bilderbuch-Beweis,
aber selber machen ist ja auch was tolles. Ich denke danach kannst
du dir aber auch mal den Bilderbuchbeweis anschauen.

Zum weiteren Beweis:

Du hast bisher nur 1.) gezeigt, 2.) und 3.) sind noch zu machen.

Aber sieht gut aus bis jetzt Freude

11.10.2011, 20:54

Cpt. Raven

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Hallo,

danke für Deine Antwort!!! smile

(2) und (3) hab ich schon gezeigt, allerdings mit ein paar Schreibfehlern.

(2):

Angenommen, es gibt zwei Fixpunkte a und b.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} d(f(a), f(b)) = d(a,b) \leq \lambda d(a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Widerspruch!

(3):

f Kontraktion => f stetig.

Sei $\begin{eqnarray*} a := lim x_n \end{eqnarray*}$ .

Es gilt: $\begin{eqnarray*} lim f(x_n) = lim x_{n+1} = a = f(lim x_n) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Und ja, selbst machen ist irgendwie cooler. Erhöht das Verständnis enorm. smile

12.10.2011, 07:33

ThomasFF

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Hallo,

auch hier stimmt alles smile

In Schritt 2 hast du es zwar nicht so ganz
sauber aufgeschrieben, aber ich verstehe, was du meinst.

Ich würde es so machen:

Gegenannahme: Es gibt a,b Fixpunkte mit a=/=b,
d.h. d(a,b) =/= 0 (erstes Axiom der Metrik).

Jetzt kommt die gleiche Folgerungskette wie bei dir:

... => d(a,b) <= L d(a,b) mit L aus (0,1).

Zur Verdeutlichung: L kann ja z.B. 0.5 sein

und d(a,b) <= 0.5 d(a,b) ist jetzt noch kein fundamentaler
Widerspruch wie z.b. d(a,b) < d(a,b). d(a,b) = 0 würde
das mitmachen.

Nichtsdestotrotz widerspricht es der Annahme d(a,b) =/= 0. Freude

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