differenzengleichung mit komplexer lösung

12.10.2011, 16:35	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
differenzengleichung mit komplexer lösung Ich bin verwirrt! habe hier die Differenzengleichung $\begin{eqnarray} x_{n+2} - 2x_{n+1} + 2x_n = 0 \end{eqnarray}$ beim lösen der charakteristischen gleichung bekomme ich für lambda die komplexen lösungen $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 1 + i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 = 1 - i \end{eqnarray}$ Zuerst wusste ich nicht so recht wie man jetzt hier vorgeht um eine allgemeine lösung zu erhalten. wolfram alpha liefert mir folgende Lösung schau ich aber in mein Mathe buch sollte die lösung bei komplexem lambda so ausschauen: $\begin{eqnarray} x_n = r^n(C1 cos \, n \varphi + C_2 sin\, n \varphi ) \end{eqnarray}$ was hat da das r und das $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zu bedeuten und wie bekomme ich es? lg
12.10.2011, 18:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Lösung in die Polarform (r, phi) bzw. in die trigonometrische Form umschreiben. Dabei gilt allgemein (in Kürze) $\begin{eqnarray} x + iy = r (\cos \varphi + i\sin \varphi) \end{eqnarray}$ , r ist der Betrag der komplexen Zahl, phi = arctan(y/x) (richtigen Quadranten ermitteln!) Somit $\begin{eqnarray} c_1(1-i)^n + c_2(1+i)^n = c_1 (\sqrt 2)^n(\cos \frac{\pi} 4 - i \sin \frac{\pi} 4)^n + c_2 (\sqrt 2)^n(\cos \frac{\pi} 4 + i \sin \frac{\pi} 4)^n \end{eqnarray}$ Führe die Potenzen nun mittels Moivre aus und fasse dann die cos- und sin-Glieder zusammen. Klammere die gleichen Faktoren aus und setze c1 - c2 = C1 bzw. -c1 + c2 = C2 So kommst du nun zu der anderen im Buch angegebenen Schreibweise. Beachte, dass du nun für r und phi die entsprechenden Werte einzusetzen hast. mY+
13.10.2011, 16:47	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
danke mY+ für die Antwort... okay also $\begin{eqnarray} r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi = arctan \frac{y}{x} = arctan( 1) \end{eqnarray}$ okay sind beides krumme zahlen. und die einfach einsetzen? $\begin{eqnarray} x_n = \sqrt 2 ( C_1 cos (\, n \, arctan( 1)) + C_2 sin (\, n \, arctan (1 ))) \end{eqnarray}$
14.10.2011, 21:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, SO krumm sind die Zahlen ja auch wieder nicht. $\begin{eqnarray} \arctan 1 = \frac{\pi} 4 \end{eqnarray}$ (45°) Und $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ musst du natürlich auch noch mit n potenzieren ... mY+
15.10.2011, 03:37	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe danke mY+ , für meine verhältnisse sind das "krumme" zahlen weil ich sie mal naiv in den rechner eintippe. Weiß man das einfach, dass es $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ (45°) ist, lernt man das auswendig, oder ist das sowas von offensichtlich? (für jemanden der mathematik nicht studiert) lg
15.10.2011, 09:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man "weiss", dass es das Bogenmaß und das Gradmaß eines Winkels gibt. Der Zusammenhang: 2pi entspricht 360° pi entspricht 180° pi/2 entspricht 90° usw. Das bedeutet, dass daraus ein Umrechnungsfaktor bestimmt werden kann: $\begin{eqnarray} (arc \ \alpha°) \ \widehat{\alpha} = \frac {\pi}{180} \alpha° \end{eqnarray}$ In der Analysis ist ohnehin immer nur das Bogenmaß relevant, nur in der Geometrie (Trigonometrie, Vermessungslehre) rechnet man mit dem Gradmaß. mY+
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