Problem bei der Stetigkeit von Funktionen

12.10.2011, 18:21	Lyvisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei der Stetigkeit von Funktionen Meine Frage: Also, wie der Titel schon sagt geht es um die Stetigkeit von Funktionen Eine Funktion ist doch dann stetig, wenn sie einen Funktionswert und einen Grenzwert besitzt, und diese beiden Werte gleich sind. Wie man die Werte ausrechnet weiß ich auch. Ich wollte nun aber noch etwas üben, und habe mir Aufgaben aus unseren Lehrbuch vorgenommen. Dabei bin ich auf etwas Komisches gestoßen... Die Aufgabe: Untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x0 = 2. f(x) = {x^2 - 3, x kleinergleich 2 {4 - x, x > 2 Ich habe doch jetzt schon die Stelle x0 gegeben, was sollen mir denn die Angaben für x bei den Funktionen sagen? Wir hatten das im Unterricht nur ganz kurz an zwei Aufgaben geübt, wo x nicht weiter definiert war, darum bräuchte ich jetzt mal eure Hilfe Meine Ideen: Also meine Idee wäre, es erstmal ganz normal auszurechnen Funktionswert: f(x0) = f(2) = 2^2 - 3 = 1 Bei dem Grenzwert kommt auch 1 raus... soo und da steht ja x kleinergleich 2, und 1 ist ja kleinergleich 2, also würde das stimmen Aber nun bei der anderen Funktion Funktionswert: f(x0) = f(2) = 4 - 2 = 2 Grenzwert ist genauso auch 2... weil da aber steht, x > 2, und das trifft auf 2 ja nicht zu, weiß ich nicht weiter Darum hab ich mir gedacht, das x muss hier irgendeine andere Bedeutung haben. Ist das so? Ich weiß, dass ist nun keine weltbewegend große Frage, aber oft sind es ja die kleinen Dinge die man nicht verstanden hat und dann viel ausmachen
12.10.2011, 19:10	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei der Stetigkeit von Funktionen Hallo Lyvisa und willkommen auf dem Matheboard Zu deiner Frage: Wenn eine Funktion wie in deinem Fall definiert ist, also $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} x^2 -3 & x \leq 0 \\ 4-x & x > 2 \end{cases} \end{eqnarray}$ , dann bedeutet das, dass man für $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ die Funktionsvorschrift $\begin{eqnarray} f(x) = 4-x \end{eqnarray}$ benutzt und für $\begin{eqnarray} x \leq 2 \end{eqnarray}$ die andere Funktionsvorschrift benutzt. Nehmen wir mal als Beispiel an, du möchtest gern $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ bestimmen. Als erstes müssen wir also feststellen, ob $\begin{eqnarray} x = 0 \leq 2 \end{eqnarray}$ ist oder $\begin{eqnarray} x = 0 > 2 \end{eqnarray}$ . Das ist aber offensichtlich Weil $\begin{eqnarray} x = 0 < 2 \end{eqnarray}$ müssen wir also die Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray} x \leq 2 \end{eqnarray}$ benutzen: $\begin{eqnarray} f(0) = 0^2 -3 = -3 \end{eqnarray}$ . Großes Gerede um kurz und bündig zu sagen, dass du den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} f(x) \end{eqnarray}$ nicht so einfach berechnen kannst. Du musst dich auf der Zahlengerade von links nähern und von rechst und schauen, ob beide Grenzwerte gleich sind und ob der Grenzwert dann noch mit dem Funktionswert übereinstimmt; erst jetzt kannst du sagen, ob die Funktion stetig ist Alpha PS: Mit dem links und rechts nähern meine ich den Grenzwert bestimmen, so wie du das bisher auch gemacht hast, allerdings einmal mit der Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ (Grenzwert von rechts) und dann noch mit der Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray} x \leq 2 \end{eqnarray}$ (Grenzwert von links)
12.10.2011, 19:38	Lyvisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoooo, jetzt weiß ich was damit gemeint ist : D Dankeschön Okay, ich versuch denn gleich mal die Aufgabe zu lösen. Die Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ = 2 ist so groß wie die Zahl 2, also trifft x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2 zu. Ich muss nun die Bildungsvorschrift f(x) = x² - 3 nehmen. Funktionswert: f( $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ ) = f(2) = 2² - 3 = 1 Grenzwert: von links: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ (2 - h)² - 3 = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 4 - 4h + h² - 3 = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 1 - 4h + h² Und weil h gegen 0 geht -> g = 1 von rechts: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ (2 + h)² - 3 = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 4 + 4h + h² - 3 = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 1 + 4h + h² Und weil h gegen 0 geht -> g = 1 Der Grenzwert ist also von links und von rechts 1. Der Funktionswert ist auch 1. Da beide Werte existieren und sie gleich sind, ist die Funktion stetig. Richtig so? : D
12.10.2011, 19:46	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist dir Richtige und von links hast du das auch richtig gemacht . Jetzt kommt allerdings das knifflige, wenn du $\begin{eqnarray} x_0 + h = 2 + h \end{eqnarray}$ mit positivem h wählst, dann ist $\begin{eqnarray} x_0 = 2 < x_0 + h = 2 + h \end{eqnarray}$ : Du musst also für den rechtsseitigen Grenzwert die Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$ nehmen Alpha
12.10.2011, 19:56	Lyvisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, dann macht das auch Sinn, warum dort zwei Bildungsvorschriften stehen : D Also noch einmal von rechts: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 4 - (2 + h) = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 4 - 2 - h = $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ 2 - h Weil h gegen 0 geht -> g = 2 Soo, nun hab ich also zwei unterschiedliche Grenzwerte... Bedeutet das, dass die Funktion doch nicht stetig ist?
12.10.2011, 20:21	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das bedeutet das Denn es gilt, wie ich weiter oben schonmal geschrieben habe: wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existiert und beide gleich sind und auch noch gleich dem Funktionswert in dem Punkt, dann ist die Funktion dort stetig. Zur Kontrolle habe ich die Funktion mal geplottet ... Alpha
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12.10.2011, 20:29	Lyvisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay gut, ich denke ich habe nun alles verstanden : D Vielen Dank nochmal!

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