Extremwertaufgabe (Rechteck) |
| 12.10.2011, 18:37 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremwertaufgabe (Rechteck) Ein Bauer will mit 60m Weidezaun eine möglichst große rechteckige Grünfläche so umgeben, dass 2m für die Einfahrt frei bleiben. Wie muss er die Seitenlängen des Rechtecks festlegen? Was verändert sich, wenn die Angabe "rechteckig" entfällt? Meine Ideen: Also ich hab erstmal die Bedingungen und so aufgestellt, nur weiß ich nichts mit der angabge anzufangen, dass der Bauer 2m für die Einfahrt frei halten will anzufangen. Ich hab einfach mal gesagt 2a+2b=60 und a*b=O(a,b) ist das richtig oder schon falsch der rest sollte dann einfach sein. Und zu der veränderung das der Zaun nicht rechteckig sein muss hab ich auch kaum Ideen. Außer das dann auch eine Quadrat zulässig wäre. |
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| 12.10.2011, 18:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe (Rechteckt) Bei der Aufstellung der NB musst du die 2m berücksichtigen. Überlege doch mal, was es bedeutet, wenn 2 m frei bleiben sollen. 
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| 12.10.2011, 18:51 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das er 2m weniger zur verfügung hat also 58m 2a+2b=58m so hab ich am Anfang gerechnet aber es kam was so ein Quadrat raus. Ich weiß das ein Quadrat auch ein Rechteck ist aber irgendwie kam es mir komisch vor weshalb ich hier die Frage gestellt hab. Ist es so korrekt? |
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| 12.10.2011, 19:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, er hat 60 m Zaun. Warum sollte er weniger verbrauchen dürfen? Zumal nichts über die Grundstücksgröße gesagt ist. 
Sorry für die Verzögerung, ich habe Probleme, ins Board zu kommen. |
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| 12.10.2011, 19:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann 62meter Zaun? bleibt ja fast nichts anderes übrig. |
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| 12.10.2011, 19:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, du musst mit 62 m rechnen. 
Es wird natürlich ein Quadrat rauskommen, deswegen musst du eine Bedingung aufstellen, die ein Rechteck im Vergleich zum Quadrat auszeichnet:
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| 12.10.2011, 19:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber ein quadrat ist doch auch eine Form von einem Rechteck aber ich versteh was du meinst. Hast du einen Ansatz für die 2te teil Aufgabe? Außer das nun eben a=b zugelassen wäre? |
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| 12.10.2011, 19:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rechnerisch ist es das Gleiche, du hast ja auch schon gesagt, dass du errechnet hast, dass (ohne einschränkende Bedingung) ein Quadrat rauskommt.
Ich verstehe deine Frage deshalb nicht.
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| 12.10.2011, 19:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso ne ich mein ja nur. Ok dann käme ich jetzt selbst weiter ist ja nicht mehr schwer nur wäre da noch eine Frage ob ich auch Randwerte bestimmen muss und wie diese dann lauten müssten. |
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| 12.10.2011, 19:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, du kannst natürlich schauen, was passiert, wenn du 0 oder 30 in A(a) einsetzt. Da wir aber eine Parabel vorliegen haben, ist es ausgeschlossen, dass wir noch andere Extremwerte finden.
Ich habe aber noch mal überlegt, dass wir die NB und die HB anders formulieren müssen. Es muss gelten: NB: a + b = 30 (Denn mehr Zaun haben wir ja nicht) HB: A(a,b) = (a+2)·b Was meinst du?
edit: Nee, es muss heißen: HB: A(a,b) = (a+1)·b |
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| 12.10.2011, 19:33 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2a+2b=60 und a+b=30 wäre ja äquivalent zu einander aber müsste es nicht 62 und 31 sein und deine 2te Bedingung kann ich jetzt so nicht nachvollziehen ehrlich gesagt. |
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| 12.10.2011, 19:38 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die HB habe ich gerade korrigiert. Also zur NB: Wir haben die 60m, aus denen wir 2 a und 2 b kriegen. Wie du sagst, das ist gekürzt: 30 = a + b Nun ist es bei der Fläche (HB) so, dass wir ja 2 m aussparen können. Das heißt, dass wir mit den gegebenen 60 m weiter kommen, also einen Umfang von 62 m einschließen können. Und wie bildet sich der Umfang? Aus a und b. Ich gehe jetzt davon aus, dass auf der Strecke a die Einfahrt liegt. Also habe ich dann dort 1 m mehr zur Verfügung, wenn ich die Einfahrt freilasse. (Die 2 m verteilen sich auf die 2a des Umfangs => jeweils zu a + 1m
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| 12.10.2011, 19:48 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok ich weiß glaube so ansatzweise verstehe ich deinen Vorschlag. Und es kann natürlich sein. Was denkst du den hältst du deine Lösung für Plausibeler. Ich gehe mal davon aus das du in Mathe mehr drauf hast als ich auch wenn ich normalerweise ganz gut bin nur ist dieses Thema neu und die 2te Aufgabe die wir da rechnen und die erste mit Nebenbedingungen. Deine Lösung finde ich persönlich auch weit cooler als meine
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| 12.10.2011, 20:00 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich denke schon, dass mein letztgenannter Ansatz der richtige ist. NB: a + b = 30 HB: A(a,b) = (a+1)·b Leider wird auch dies wieder zu einem Quadrat führen, auch wenn diesmal a 1m kürzer als b ist. Unsere Bedingung von vorhin muss also geändert werden in . Trotzdem macht mich das nicht wirklich glücklich. Bei Teil b hingegen müssen wir nun anders vorgehen. Hier müssen die zusätzlichen 2 m zwar auch auf alle a gleichmäßig verteilt werden, nur haben wir diesmal gleich 4 Seiten a. |
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| 12.10.2011, 20:05 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich hab mal mit deinem Ansatz angefangen zu rechnen und hab dann als Zielfunktion raus : sieht für mich irgendwie komisch aus das ich eine pq-Formel habe mit den Lösungen -1 und 30 wobei -1 in dem Fall = |-1| wäre aber die Lösung gefällt mir nicht wirklich gut. Hab ich mich irgendwo verhauen oder hast du eine andere Zielfunktion raus? Hab a+b=30 nach b aufgelöst und dann eingesetzt und erhielt eben das oben genannte Ergebnis. 
Edit: Ich erzähl blöd sinn ich muss es ja erst Ableiten. |
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| 12.10.2011, 20:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Zielfunktion hast du richtig aufgestellt.
Allerdings solltest du jetzt wohl eher ableiten, wenn du den Extremwert bestimmen willst.
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| 12.10.2011, 20:13 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja hatte ich schon selber gemerkt und rein Editiert. Ich habe jetzt für a=14,5 raus und dann für b =15,5 das sind die selben werte wie als wenn ich die Bedingungen in der Form aufgestellt hätte: glaube ich zu mindest bin mir nicht 100%ig sicher Es kann sich natürlich um einen Zufall handeln weil es ja nicht die gleiche Rechnungen sind. |
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| 12.10.2011, 20:21 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich auch. Allerdings hätten wir auf diese Weise (natürlich) wieder ein Quadrat, also müssen wir noch unsere Bedingung () beachten. Wir können sagen, dass a < 14,5 und b > 15,5 sein muss, die maximale Fläche des Rechtecks wird bei maximaler Annäherung an die genannten Werte erreicht. Ob das im Sinne der Aufgabenstellung ist, weiß ich nicht.
Nein, da bekommst du natürlich a = 15 und b = 15 raus.
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| 12.10.2011, 20:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso näh dann war es bei meinem erstem Vorschlag mit der gleichen Lösung wie nun. Und das nun die Bedingung erfüllt ist die nicht erfüllt sein darf merk ich jetzt erst. Und ich finde das du recht hast, weil ich habe mal zu Fuß damit weiter gerechnet und z.B waren 14,6*15,4 > 14,5*15,5 |
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| 12.10.2011, 20:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, man kann auch an dem Graphen den Extremwert für a erkennen (b ist dann 30-a) sowie (an der y-Koordinate) die erhaltene Fläche. Im Detail:
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| 12.10.2011, 20:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich hab die Grafiken jetzt auf mich wirken lassen aber ich versteh nicht ganz was sie mir sagen sollen. Also ich versteh es schon aber es hilft mir nicht. Eine Rechnung wäre jetzt verständlicher finde ich. |
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| 12.10.2011, 20:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du siehst doch an der Grafik, welche Funktionsgleichung ich habe zeichnen lassen.
Du hast sie auch selbst berechnet ( Das V(a)= habe ich mal eingefügt) :
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| 12.10.2011, 20:50 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja das hab ich schon bemerkt aber die zeichnung ist zu ungenau um da was abzulesen. Ich lass es mir mal von GeoGebra zeichnen das seh ich ja das Maximum. |
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| 12.10.2011, 20:52 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dafür habe ich doch die Detailvergrößerung gemacht.
Was ist eigentlich mit Aufgabe b), dem Quadrat? |
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| 12.10.2011, 20:53 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich würde für Aufgabe b) einfach sagen, dass nun auch Quadratischeformen zugelassen wären und diese eigentlich den Wunsch der Flächenmaximierung am meisten genüge wird. |
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| 12.10.2011, 20:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sieht denn die Rechnung aus? Bedenke, dass du wieder 60 m Zaun hast, mit denen du 62m Umzäunung bilden kannst. Jetzt hast du allerdings u = 4a
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| 12.10.2011, 21:00 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ,da kann ich einfach die 62 dirkekt durch 4teilen und hätte direkt meine Lösungen |
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| 12.10.2011, 21:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist richtig.
Man hat in dem Fall keinen Spielraum.
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| 12.10.2011, 21:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Dann danke ich dir für deine Hilfe und gehe einfach mal von der Richtigkeit des Ergebnisses aus. 
Wenn du allerding noch einen hochkomplizierten Weg zur Optimierung des hast ,wäre ich echt dankbar. Allein weil es cool ist. |
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| 12.10.2011, 21:12 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Optimierung fällt mir gerade nichts ein...
Du kannst mir ja mal Rückmeldung geben, ob unsere Lösung richtig war, oder ob ihr anders vorgegangen seid. Würde mich interessieren.
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| 12.10.2011, 21:17 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mach ich morgen mal per PN oder hier im Tread.
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| 12.10.2011, 21:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar.
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| 13.10.2011, 00:00 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum wehrt ihr euch eigentlich gegen ein Quadrat? Auch ein Quadrat ist ein Rechteck und kommt bei Maximierungsaufgaben rechtwinkliger Grundstücke gelegentlich vor.
Dann sind auch Trapeze, Fünfecke, Ellipsen etc. möglich. |
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| 13.10.2011, 11:37 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Opi, du hast natürlich recht mit deinen Anmerkungen.
Sehr dumm von mir, dass ich mich da so gedankenlos den Ausführungen des Fragestellers angeschlossen habe... |
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| 13.10.2011, 15:43 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe doch selbst geschrieben das eine Quadrat ebenfalls ein Rechteck ist. Und ich habe auch in meiner Antwort die ich Schlussendlich schrieb gesagt das so jede geometrische Figur möglich ist und ein Kreis die Optimalste ist. Als wir die Aufgabe heute besprochen haben kam für a und b 15,5 raus. Es ist also ein Quadrat
Richtig wäre gewesen 2a+2b oder a+b=31 zu schreiben. |
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