Hauptnenner

02.01.2007, 12:02

fer0ne

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Hauptnenner

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a*b} + \frac{a}{b*c} + \frac{b}{a*c} \end{eqnarray*}$

1.

$\begin{eqnarray*} \frac{a*c³*b}{a²*b²*c²} + \frac{a³*c*b}{a²*b²*c²} + \frac{b³*a*c}{a²*b²*c²} \end{eqnarray*}$

2. ( Meine Lösung ) :-(

$\begin{eqnarray*} \frac{a²+b²+c²}{1} \end{eqnarray*}$

Richtige Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{a²+b²+c²}{a*b*c} \end{eqnarray*}$

Was mach ich falsch? Ich komm mit diesen Brüchen nicht klar. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben damit ich das irgendwie verstehen kann? Danke!

02.01.2007, 12:10

Calvin

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RE: Hauptnenner

Zitat:

Original von fer0ne
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a*b} + \frac{a}{b*c} + \frac{b}{a*c} \end{eqnarray*}$

1.

$\begin{eqnarray*} \frac{a*c³*b}{a²*b²*c²} + \frac{a³*c*b}{a²*b²*c²} + \frac{b³*a*c}{a²*b²*c²} \end{eqnarray*}$

Du hast hier zwar nicht den kleinsten gemeinsamen Nenner gefunden, aber prinzipiell ist das hier richtig. Damit kommst du auch auf die richtige Lösung.

Wie bist du auf deine Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2+c^2}{1} \end{eqnarray*}$ ? Wie hast du die Brüche addiert, nachdem du sie nennergleich gemacht hast?

Nennergleiche Brüche werden addiert, indem man nur die Zähler addiert und den Nenner beibehält. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{z}+\frac{y}{z}=\frac{x+y}{z} \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 12:11

Leopold

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Bei 1. stimmt es noch, ist aber viel zu umständlich. Beachte, daß bereits im Nenner $\begin{eqnarray*} abc \end{eqnarray*}$ die Nenner $\begin{eqnarray*} ab, bc, ac \end{eqnarray*}$ drinstecken. Wie du auf 2. kommst, verstehe ich auch nicht. Vielleicht hast du in einer Summe gekürzt oder andere ähnliche Schandtaten verübt.

02.01.2007, 12:16

fer0ne

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RE: Hauptnenner
Ich konnte mit dem Formeleditor nicht alles auf einen Bruchstrich schreiben. Im Prinzip steht im Nenner: $\begin{eqnarray*} a²*b²*c² \end{eqnarray*}$
Die Oberen Zähler habe ich in Klammern gesetzt und mit + dazwischen auf den Bruchstrich geschrieben.
Dann habe ich gekürzt, was man bei Summen/Differenzen nicht darf. Ich weiß aber nicht wie ich weiter vorgehen soll.

02.01.2007, 12:22

Leopold

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Du kannst bei deinem komplizierten Ansatz im Zähler $\begin{eqnarray*} abc \end{eqnarray*}$ ausklammern und kürzen. Aber, ehrlich gesagt, so solltest du die Aufgabe nicht lösen. Nimm doch von vorneherein den einfacheren gemeinsamen Nenner $\begin{eqnarray*} abc \end{eqnarray*}$ .

02.01.2007, 12:29

fer0ne

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Das ist ja mein Problem. Ich kann mir nicht Vorstellen warum $\begin{eqnarray*} a*b*c \end{eqnarray*}$ im Nenner steht. Wenn ich für die Buchstaben Zahlen einsetzte bekomme ich ein Falsches Ergebnis.

z.B. a=2 b=3 c=4

Bei einem HN $\begin{eqnarray*} a*b*c \end{eqnarray*}$ ist die Lösung $\begin{eqnarray*} 24 \end{eqnarray*}$
Wenn ich zu Anfangs jeden Nenner errechne, d.H. $\begin{eqnarray*} a*b = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b*c = 12 \end{eqnarray*}$ usw. dann haut das nicht hin. Danach hätte ich nämlich einen HN: $\begin{eqnarray*} 6*12*8 = 576 \end{eqnarray*}$
Wie gesagt, Brüche sind ein BigProblem und mir fehlt das Verständis dafür.

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02.01.2007, 12:36

Leopold

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Brüche ändern ihren Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner simultan (zugleich) mit derselben Zahl ungleich 0 multipliziert oder durch dieselbe Zahl ungleich 0 dividiert. Diesen Vorgang nennt man Erweitern bzw. Kürzen. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{10}{15} \end{eqnarray*}$ (hier wurde mit $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ erweitert). Zur Vorstellung einfach einen Kreis zeichnen und einmal in Drittel einteilen und zwei Drittel markieren und das andere Mal in Fünfzehntel einteilen und zehn Fünfzehntel markieren.

Hier mit Variablen. Ich zeige es dir am ersten Bruch. Er wir mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ erweitert:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{ab} = \frac{c \cdot c}{ab \cdot c} = \frac{c^2}{abc} \end{eqnarray*}$

Womit mußt du die beiden anderen Brüche erweitern, um sie auf den Nenner $\begin{eqnarray*} abc \end{eqnarray*}$ zu bringen?

02.01.2007, 12:54

fer0ne

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$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b*c} = \frac{a*a}{b*c*a} = \frac{a²}{b*c*a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a*c} = \frac{b*b}{a*c*b} = \frac{b²}{a*c*b} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich noch. Ich muß doch irgendwie auf die Lösung kommen, wenn ich einen HN bilde und dann kürze o.ä.

Mein Ansatz sieht so aus:
Was nun?
$\begin{eqnarray*} \frac{(a*c³*b)+(a³*c*b)+(b³*a*c)}{a²*b²*c²} \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 13:10

Leopold

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Du hast doch bereits einen gemeinsamen Nenner (das ist wie eine gemeinsame Einheit in der Physik). Da mußt du nur noch die Zähler addieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{ab} + \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} = \frac{c \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{a \cdot a}{bc \cdot a} + \frac{b \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{c^2}{abc} + \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} = \frac{c^2 + a^2 + b^2}{abc} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 13:38

fer0ne

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Mein Ansatz sah wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a*b} + \frac{a}{b*c} + \frac{b}{a*c} = \frac{c²*b}{a*b²*c} + \frac{a²*b}{a*b²*c} + \frac{b}{a*c} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die ersten beiden Brüche als einen geschrieben und mit dem dritten Bruch einen HN gebildet. Den Rest kennst Du. Was mach ich bei komplizierteren Aufgaben? Es muß doch einen Ansatz geben der verständlich ist, bzw. leicht zu merken?

Meine 2. Aufgabe sieht wie folgt aus:
Hier muß auch wieder ein HN gebildet werden, daß ist nicht so leicht wie bei der ersten Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \frac{2b}{a*c²} + \frac{1/a}{b*c}+ \frac{1/2 b}{a²*c} \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 13:52

RS

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Also du suchst aus allen Brüchen(Nennern) jeweils die höchste Potenz eines jeden Buchstaben heraus. Hier wäre das dann a²bc². Das kannst du nun als Hauptnenner nehmen! Was musst du am ersten Nenner ändern damit du auf den ebend herausgefundenen Hauptnenner kommst??

02.01.2007, 14:39

fer0ne

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Ich muß den ersten Bruch mit $\begin{eqnarray*} a c² \end{eqnarray*}$ erweitern.

Unser HN ist $\begin{eqnarray*} a²*b*c² \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 14:47

klarsoweit

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Bevor man mit dem Erweitern loslegt, sollte man sich erstmal auf einen Hauptnenner festlegen. Was wäre das hier?

Noch was zur Sprache: es werden nicht Nenner erweitert, sondern Brüche.

02.01.2007, 15:00

fer0ne

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Ok, wir haben uns auf folgenden HN geeinigt:
$\begin{eqnarray*} a²*b*c² \end{eqnarray*}$ Laut Aussage von RS ist der HN aus den größten Potenzen der einzelnen Werte jedes Nenners gebildet worden. Kann ich immer so vorgehen? Wobei ich wieder bei meiner ersten Aufgabe wäre. Da hieß es ja: $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a*b} + \frac{a}{b*c} + \frac{b}{a*c} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun immer die größte Potenz jedes Wertes nehme hab ich als HN: $\begin{eqnarray*} a*b*c \end{eqnarray*}$
Verstehe ich das richtig? Läßt sich so der $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ immer bilden?

Ein Frage dazu: Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}*a² \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

02.01.2007, 15:11

fer0ne

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Dann wäre meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2ab²+ ac+1/2b²c}{a²b*c²} \end{eqnarray*}$

Wie schreibe ich im Formel Editor 1/2 als Zähler in einem Bruch ? Geht das nicht anders, als hier dargestellt?

02.01.2007, 15:19

Leopold

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Zitat:

Original von fer0ne
Wobei ich wieder bei meiner ersten Aufgabe wäre. Da hieß es ja: $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a*b} + \frac{a}{b*c} + \frac{b}{a*c} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun immer die größte Potenz jedes Wertes nehme hab ich als HN: $\begin{eqnarray*} a*b*c \end{eqnarray*}$

Hast du eigentlich einen meiner Beiträge schon einmal mit wachem Verstand durchgelesen? Dann würde sich diese Frage erübrigen.

Zitat:

Original von fer0ne
Verstehe ich das richtig? Läßt sich so der $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ immer bilden?

Auf solche Fragen sollte man niemals antworten. Du verlangst nach einem Kochrezept. So funktioniert aber Mathematik nicht!
Du mußt dir vielmehr Folgendes klarmachen: Der gemeinsame Nenner von mehreren Brüchen muß so beschaffen sein, daß jeder Nenner als Faktor in ihm vorkommt. Und daß ich das eine Wort fett geschrieben habe, hat seinen Grund. Das wird nämlich gerne überlesen. Das Wort "Faktor" weist nämlich auf eine Produktdarstellung hin.

03.01.2007, 09:14

fer0ne

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Ist ja gut!
Ich wollte nur wissen ob diese Art einer Vorgehensweise immer anzuwenden ist.

P.S. Wach bin ich schon, leider nicht so Mathematikverliebt wie manch anderer.

Danke.

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