Determinante mit Trigonometrischen Funktionen lösen

12.10.2011, 22:44

JonnyErdnuss

Determinante mit Trigonometrischen Funktionen lösen

Hallo,

ich habe eine Übungsaufgabe an der ich seit gestern hänge und auf keinen grünen Zweig komme. Man soll den Wert der Determinante 3. Ordnung berechnen.

$\begin{eqnarray*} D= \begin{vmatrix} sin(2\alpha) & -cos(2\alpha ) & 1 \\ sin(\alpha ) & -cos(\alpha ) & cos(\alpha ) \\ cos(\alpha ) & sin(\alpha ) & sin(\alpha ) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} D= \sin(2\alpha ) \cdot A_{11} - \cos(2\alpha ) \cdot A_{12} + 1 \cdot A_{13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{11} = -cos(\alpha )\cdot sin(\alpha )-cos(\alpha )\cdot sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{12} = cos(2\alpha ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{13} = 1 \end{eqnarray*}$

Dannach wirds sehr wackelig, ich habs mal so hingeformt, komme damit aber wie man sehen kann nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} D = (-2)\cdot (sin(2\alpha )\cdot sin(\alpha )\cdot cos(\alpha )) - cos^{2} (2\alpha ) + 1 \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll übrigens = 0 sein.

Gruß Jonny

12.10.2011, 23:04

galoisseinbruder

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RE: Determinante mit Trigonometrischen Funktionen lösen

Zitat:

Original von JonnyErdnuss

$\begin{eqnarray*} D= \sin(2\alpha ) \cdot A_{11} - \cos(2\alpha ) \cdot A_{12} + 1 \cdot A_{13} \end{eqnarray*}$

Vor das $\begin{eqnarray*} \cos(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ muss ein +

12.10.2011, 23:07

JonnyErdnuss

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Aber Plus * Minus ergibt doch Minus. ;-)

Es steht in der Formel natürlich ... + (-cos(2a))*A12 ...

12.10.2011, 23:12

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von JonnyErdnuss
Aber Plus * Minus ergibt doch Minus. ;-)

Es steht in der Formel natürlich ... + (-cos(2a))*A12 ...

Das ist ja grade der Punkt: $\begin{eqnarray*} - (-cos(2a)) \cdot A_{12} \end{eqnarray*}$ nach dem Laplaceschem
Entwicklungssatz alterniert das Vorzeichen.

12.10.2011, 23:40

JonnyErdnuss

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Aber wieso ist denn dort ein Minus, ich dachte es heisst:

$\begin{eqnarray*} D = a_{11}\cdot A_{11} + a_{12}\cdot A_{12} + a_{13}\cdot A_{13} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ hier für $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ steht, $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \-cos(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ usw.

Also immer positive Vorzeichen, nur das negative Vorzeichen von -cos(2a) macht es negativ.

Die "Schachbrettregel" habe ich bei den Unterdeterminanten angewendet, also A_11 positiv, A_12 negativ, A_13 positiv.

13.10.2011, 00:11

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von JonnyErdnuss
Aber wieso ist denn dort ein Minus, ich dachte es heisst:

$\begin{eqnarray*} D = a_{11}\cdot A_{11} + a_{12}\cdot A_{12} + a_{13}\cdot A_{13} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ hier für $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ steht, $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \-cos(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ usw.

Also immer positive Vorzeichen, nur das negative Vorzeichen von -cos(2a) macht es negativ.

Die "Schachbrettregel" habe ich bei den Unterdeterminanten angewendet, also A_11 positiv, A_12 negativ, A_13 positiv.

damit ist Deine Rechnung zwar richtig (ich hatte mir die $\begin{eqnarray*} det(A_{1j}) \end{eqnarray*}$ nicht angeschaut) aber Du hast es trotzdem massiv irreführend aufgeschrieben. Die normale Notation ist
$\begin{eqnarray*} D = a_{11}\cdot det\left(A_{11}\right) - a_{12}\cdot det \left(A_{12} \right)+ a_{13}\cdot det\left(A_{13}\right) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} A_{ij} \end{eqnarray*}$ die Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
So ist z.B $\begin{eqnarray*} A_{12}= \begin{pmatrix} sin(\alpha ) & cos(\alpha ) \\ cos(\alpha ) & sin(\alpha )\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zurück zur Aufgabe: mit Additionstheoremen
lässt sich $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

13.10.2011, 07:14

Leopold

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Es seien $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ die Zeilen von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Mit den Formeln für das doppelte Argument folgt: $\begin{eqnarray*} u = \left( 2 \sin \alpha \cos \alpha \, , \, \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \, , \, 1 \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt zeigt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} u - (\cos \alpha) \cdot v - (\sin \alpha) \cdot w = 0 \end{eqnarray*}$

unmittelbar die lineare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ .

13.10.2011, 23:32

JonnyErdnuss

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Habs gelöst. Vielen Dank ihr zwei! Freude

Gruß Jonny

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