Großer Fermat für p = 3 mit der Fermat-Kongruenz |
| 13.10.2011, 11:53 | BluesSister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Großer Fermat für p = 3 mit der Fermat-Kongruenz Hallo alle zusammen, ich habe hier einen Beweis dafür, dass der die Aussage des großen Fermats für p = 3 und p = 5 erfüllt ist, doch leider habe ich ein paar Hänger dabei. Der Beweis geht folgendermaßen: Zunächst zeigt man, dass (kp + l)^p \equiv l^p (mod p²) ist. Dann betrachtet man den großen Fermat für p = 3, also x³ + y³ = z³ . Um a³ mod 9 zu berechnen genügt es wegen der obigen Gleichung a \in (1,...,(p-1)/2) zu betrachten. Es ist x³ + y³ = z³ mod 9. Dann sind x,y,z \in {1} und x³,y³,z³ \in {1} und man sieht, dass die Gleichung unlösbar ist. Meine Ideen: Nun zu meinen Problemen: Ich habe mal die Gleichung für p = 3 ausgerechnet und erhalte (kp + l)³ = k³p³ + 3k²p²l + 3kpl² + l³. Ich sehe, dass die Terme k³p³ und 3k²p²l kongruent 0 mod p² sind, WARUM ist 3kpl² kongruent 0 mod p²?????? Und dann verstehe ich nicht, warum es reicht die Gleichung x³ + y³ = z³ mod 9 zu betrachten, ich habe da irgendwie eine Lücke zwischen der ganz obigen Gleichung und denen darunter. Vielen Dank für eure Hilfe schon im Voraus! |
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| 13.10.2011, 12:12 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gilt nur für p=3. Und wenn bei dir sowieso p=3 fest ist, dann kannst du auch überall p=3 einsetzen und siehst am Ende, dass es stimmt. Für allgemeines musst du auch mit dem allgemeinen binomischen Satz anfangen, d.h. . |
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| 13.10.2011, 13:48 | BluesSister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, vielen Dank für die Antwort, das was du schreibst, leuchtet mir ein. Viielleicht kann mir jemand noch helfen bei dem 2. Teil meiner Frage |
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| 13.10.2011, 14:10 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit 2.Teil meinst du wohl das hier:
Hmm, eigentlich müsste man schon alle betrachten, es gibt zunächst mal keinen Grund, bei diesen dritten Potenzen hier die negativen Reste außer Acht zu lassen. Allerdings kommt man wegen rasch zu der Erkenntnis, dass man sich auf die nichtnegativen Reste beschränken kann. Warum auch die 0 wegfallen kann, sehe ich im Moment noch nicht. 
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| 13.10.2011, 16:48 | BluesSister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, wenigstens beruhigt es mich, wenn du dir auch noch nciht alles klar ist.... Wo bei mir noch ein ganz großes Fragezeichen ist, warum ich die Gleichung y^3 + z^3 = z^3 mod 9 also mod p^2 betrachte, saft mir das die Kongruenz darüber mit den binomischen Satz oder warum geht das? |
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| 13.10.2011, 17:06 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine kurze Anmerkung, die nichts mit dem Thema zu tun hat. Bleibe bitte beim gleichen Namen. Du hast inzwischen 3 Fragen zu Fermat gestellt, alle jedoch unter verschiedenen Namen. Dann wissen die Helfer auch, mit wem sie es zu tun haben. |
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| 13.10.2011, 18:27 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solche Kongruenzbetrachtungen sind oft vorteilhaft, wenn man zeigen will, dass eine diophantische Gleichung keine Lösungen hat: Findet man ein Modul m, für das bereits keine Lösungen hat, dann trifft das auch auf die Originalgleichung (d.h. ohne modulo) zu. Die Umkehrung gilt selbstverständlich nicht, d.h. aus der Lösbarkeit der Modulo-Gleichung lässt sich nicht folgern, dass die Originalgleichung lösbar ist. Es sieht so aus, als ob der Autor hier so etwas mit vorhat, ich sehe allerdings noch nicht, wie das (lückenlos) klappen soll. |
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