Textaufgabe: Geschwindigkeit, Treffpunkt

13.10.2011, 14:55

Kaktus7

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Textaufgabe: Geschwindigkeit, Treffpunkt

Meine Frage:
Hallo ich habe folgede Aufgabe gefunden und komme da nicht weiter:

Es gibt die Stadt A und Stadt B.
Wenn man von A-Stadt nach B-Stadt radeln möchte, muss man zuerst 7 Kilometer bergauf und dann 5 Kilometer bergab fahren.
In A-Stadt wohnt Anton, der bergab viermal so schnell fährt wie bergauf. In B-Stadt wiederum wohnt Berta, die bergab dreimal so schnell fährt wie bergauf.
Wenn Berta von B-Stadt nach A-Stadt fährt, benötigt sie genau so viel Zeit wie Anton, wenn dieser von A-Stadt nach B-Stadt fährt.
Wenn nun beide gleichzeitig in ihrer Stadt losfahren, wo begegnen sie sich?

Meine Ideen:
Aus der Aufgabe ergeben sich meiner Meinung nach folgende Gleichungen:
a= Geschwindigkeit Anton bergauf
b= Geschwindigkeit Anton bergab

c=Geschwindigkeit Berta bergauf
d=Geschwindigkeit Berta bergab

b=4*a
d=3*c

7/a+5/b=5/c+7/d

Wie löse ich damit die Aufgabe? 4 Unbekannte, 3 Gleichungen.
Hab ich was übersehen?

Danke

13.10.2011, 15:44

Gast11022013

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Das, was Du als a,b,c,d bezeichnest, sind doch Zeiten und nicht Geschwindigkeiten? (Oder irre ich mich da?)
Ich stelle es mir so vor, dass man die Zeiten stoppt und z.B. Anton den Hügel 4 Mal so schnell herunter- wie herauffährt.

Also ich würde meinen:

$\begin{eqnarray*} a=\text{Antons Zeit bergauf} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\text{Antons Zeit bergab} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=4b \end{eqnarray*}$

Und ebenso:

$\begin{eqnarray*} c=\text{Bertas Zeit bergauf} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=\text{Bertas Zeit bergab} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=3d \end{eqnarray*}$

Als nächstes steht da ja, dass sie die gleiche Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ benötigen, also

$\begin{eqnarray*} t=4b+b=3d+d=t \end{eqnarray*}$

Im Moment weiß ich aber auch gerade nicht, wie es jetzt weiter geht.
[Und dies sind nur meine bisherigen Ideen gewesen.]

13.10.2011, 19:32

riwe

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möglicherweise stimmt´s sogar Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2011, 19:57

Gast11022013

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Was stimmt möglicherweise sogar?

13.10.2011, 21:34

riwe

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naja, wenn man meine grafik lesen kann:

sie treffen sich 6 km von A entfernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2011, 10:10

Kaktus7

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Danke für die Rückmeldung.

Riwe: Wie bist du den auf die Zeichnung gekommen?

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14.10.2011, 11:35

Gast11022013

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Ich steige durch die Zeichnung nicht so recht durch.

Abgesehen davon: Wie sieht die konkrete Rechnung aus, wie kommt man rechnerisch auf das Ergebnis?

14.10.2011, 14:01

riwe

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aus den ersten beiden informationen (I) erhält man leicht:

die bezeichnug der einzelnen zeiten sollte klar sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} v_a\cdot t_1=7\wedge v_b=\frac{8}9{}v_a \end{eqnarray*}$

damit kann man das problem wie oben gezeigt bereits grafisch lösen (- indem man z.b. einfach $\begin{eqnarray*} v=7km/h \end{eqnarray*}$ wählt) und erhält für den treffpunkt, von A weg gerechnet:

$\begin{eqnarray*} s=6km \end{eqnarray*}$

für die rechnung braucht man noch aus (I) $\begin{eqnarray*} t_3=\frac{45}{56}t_1 \end{eqnarray*}$

aus der letzten beziehung folgt, dass sich die beiden treffen, während A noch bergauf fährt.

damit bekommt man nun für den treffpunkt zum zeitpunkt t:

$\begin{eqnarray*} 12 =v_a\cdot t +v_b\cdot t_3+3t_5\cdot v_b\to s=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ läßt sich ganz einfach aus den anderen zeiten ermitteln, insbesondere wenn man mein bilderl da oben anschaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2011, 14:15

Gast11022013

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Wie kommst Du auf

$\begin{eqnarray*} v_b=\frac{8}{9}v_a \end{eqnarray*}$ ,

und auf den Wert für $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$

Wo ist $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ ?

14.10.2011, 14:27

riwe

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wie kommst Du auf

$\begin{eqnarray*} v_b=\frac{8}{9}v_a \end{eqnarray*}$ ,

und auf den Wert für $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$

Wo ist $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ ?

naja, selber etwas herausfinden ist auch erlaubt.
steht doch oben: die bezeichner der zeiten sollten klar sein unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ zeit von anton für den anstieg von A nach C, $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ zeit von a für die abnfahrt von C nach B.

$\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ zeit von berta für den anstieg von B nach C, $\begin{eqnarray*} t_4 \end{eqnarray*}$ zeit von b für die abfahrt von C nach A.

aus $\begin{eqnarray*} 7=v_a \cdot t_1\quad{ }\text{...}\quad{ }t_1+t_2=t_3+t_4 \end{eqnarray*}$

ergeben sich alle gleichungen, die ich oben hingemalt habe

14.10.2011, 14:35

Gast11022013

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Ich würde nicht fragen, wenn ich selbst darauf käme.

Also:

$\begin{eqnarray*} 7=v_at_1=v_dt_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5=v_bt_2=v_ct_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1+t_2=t_3+t_4 \end{eqnarray*}$

Okay, so weit bin ich. Und dann?

14.10.2011, 14:45

riwe

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naja ein bißerl "raunzen" darf ich doch Augenzwinkern

Augenzwinkern

du verwertest die informationen nicht!

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }7=v_a\cdot t_1\to t_1=\frac{7}{v_a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }5=4v_a\cdot t_2\to t_2=\frac{5}{4v_a} \end{eqnarray*}$

analog für berta

daraus bekommst du das verhältnis der geschwindigkeiten

14.10.2011, 15:10

Gast11022013

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Für Berta habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} 5=v_ct_3\Rightarrow t_3=\frac{5}{v_c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7=3v_ct_4\Rightarrow t_4=\frac{7}{3v_c} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} t_1+t_2=t_3+t_4 \end{eqnarray*}$ und darüber komme ich dann jedoch auf

$\begin{eqnarray*} v_a=\frac{9}{8}v_c \end{eqnarray*}$ .

Wie dann $\begin{eqnarray*} v_b=4v_a=\frac{8}{9}v_a \end{eqnarray*}$ folgt, sehe ich nicht.

14.10.2011, 15:16

riwe

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auch du könntest deine bezeichner definieren unglücklich

unglücklich

was soll denn $\begin{eqnarray*} v_c \end{eqnarray*}$ sein verwirrt

verwirrt

bei mir fahren nur anton mit $\begin{eqnarray*} v_a \end{eqnarray*}$ bergauf und berta mit $\begin{eqnarray*} v_b \end{eqnarray*}$ bergauf.

14.10.2011, 15:18

Gast11022013

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Achso, sorry.

Ich habe $\begin{eqnarray*} v_a \end{eqnarray*}$ für Antons Bergauffahrt, $\begin{eqnarray*} v_b \end{eqnarray*}$ für Antons Bergabfahrt, $\begin{eqnarray*} v_c \end{eqnarray*}$ für Bertas Bergauffahrt und $\begin{eqnarray*} v_d \end{eqnarray*}$ für ihre Bergabfahrt.

Dann liegt hier einfach nur ein Missverständnis vor.

14.10.2011, 15:22

Gast11022013

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Eine letzte Frage:

Was meinst Du mit $\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

verwirrt

14.10.2011, 15:32

riwe

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das steht in meinem beitrag von 15:45 bzw. in der angabe:

wenn anton mit $\begin{eqnarray*} v_a \end{eqnarray*}$ bergauf fährt, fährt er mit $\begin{eqnarray*} 4v_a \end{eqnarray*}$ bergab, da braucht man doch keinen neuen bezeichner, noch dazu mit subskript b wie berta. das stiftet doch nur verwirrung, ist meine unmaßgebliche meinung.

ist das nun soweit nun klar geworden mit den geschwindigkeiten und zeiten verwirrt

verwirrt

ach ich lese gerade deine letze frage:

$\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ ist die zeit die berta von C bergab bis zum treffpunkt mit anton - im bilderl blau und mit T bezeichnet - braucht.
das entnimmt man auch der gleichung.

14.10.2011, 15:47

Gast11022013

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So vollends durchblicke ich es noch nicht.

Insbesondere die letzte Gleichung

12= . . .

ist mir alles andere als klar (wie sie sich zusammensetzt).

Ich möchte hier aber auch niemandem auf die Nerven gehen mit meinem Nachfragen.

14.10.2011, 16:10

riwe

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na so schlimm ist das nicht mit dem nerven Augenzwinkern

Augenzwinkern

da anton und berta gleichzeitig starten und sich in T treffen, ist der gesamtweg $\begin{eqnarray*} S=12 \end{eqnarray*}$ km.

davon entfallen auf anton: der gesuchte weg bis zum treffpunkt $\begin{eqnarray*} s =AT=v_a\cdot t \end{eqnarray*}$

t ist die zeit, die anton für diese strecke braucht.

in derselnem zeit fährt auch berta von C über B nach T:

aufwärts braucht sie natürlich genauso lange wie vorher, also die zeit $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ , abwärts die zeit $\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ , daher legt sie insgesamt zurück:

$\begin{eqnarray*} s_b=v_b\cdot t_3+3\cdot v_b\cdot t_5 \end{eqnarray*}$

damit hast du $\begin{eqnarray*} 12=v_a\cdot t+s_b \end{eqnarray*}$

und wie gesagt, $\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ ist kein großes geheimnis - siehe bilderl, bzw. lies genau, was da steht

alles einsetzen, was wir bisher erarbeitet haben, und du bist am ziel

14.10.2011, 17:47

Gast11022013

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Leider habe ich noch nicht verstanden, woher man eigentlich weiß, daß der Treffpunkt sozusagen auf Antons Seite liegt.

14.10.2011, 17:54

riwe

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aus $\begin{eqnarray*} t_3=\frac{45}{65}t_1 \end{eqnarray*}$ folgt doch, dass $\begin{eqnarray*} t_3<t_1 \end{eqnarray*}$ .
da $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ die zeit ist, die berta braucht, um auf den gipfel C zu kommen, und $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ die antons, folgt, dass berta früher oben ist als anton
ok verwirrt

verwirrt

14.10.2011, 18:00

Gast11022013

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Achso und da sie schon früher auf dem Gipfel ankommt, fährt sie dann schon bergab, während Anton noch bergauf unterwegs ist.

Vielen lieben Dank für die Geduld, ich denke, jetzt ist mir die Gleichung auch klar geworden!

14.10.2011, 18:15

riwe

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gern geschehen, wenn es noch fragen gibt, bitte frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

noch ein bißerl was zur grafischen lösung:

da genügen schon die 2 gleichungen ganz am anfang:

damit geht´s wie folgt:
1) antons weg (mit v = 7km/h) und dem maßstab 1h = 6cm auf der t (x) achse sowie 1km = 1cm auf der s (y) achse.

1.1) zeichne die strecke von O(0/0) bis P(6/7)
(fleißaufgabe: 2.1) von dort geht´s weiter mit v = 4*7 =28 )

2.1) zeichne die bergtour von berta, also die strecke von B(0/12) nach $\begin{eqnarray*} Q(6/12-\frac{8}{9}\cdot 7) \end{eqnarray*}$
2.2) vom schnittpunkt dieser strecke mit der parallelen zur t-achse im abstand 5 von B, also 7 von A geht es dann mit berta weiter mit $\begin{eqnarray*} v=3\cdot v_b \end{eqnarray*}$

3) der schnittpunkt der beiden geraden/strecken ist T.
lies die ordinate ab und du hast $\begin{eqnarray*} s = 6km \end{eqnarray*}$

ist doch auch eine hübsche variante, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2011, 20:28

Pascal95

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Ich habe mir auch mal Mühe gegeben:

[attach]21480[/attach]

Eigentlich alles selbsterklärend.

War ziemlich aufwändig, da ich das alles auch noch algebraisch gelöst habe...

14.10.2011, 22:27

riwe

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na 3 geraden zeichnen ist ja nicht so viel aufwand.
und grafisch löst man das problem, um NICHT (vorher) rechnen zu müssen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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