Multiplikation von zwei Mittelwerten?

13.10.2011, 15:06

infiniteperiod

Multiplikation von zwei Mittelwerten?

Hallo,

es geht um Normalverteilung. Ich versuche, den Rechenweg von der Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ zur Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nachzuvollziehen.

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2=\langle (x- \langle x \rangle )^2 \rangle \end{eqnarray*}$

(Dabei soll $\begin{eqnarray*} \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ der Mittelwert von x sein.)

Dann wird die binomische Formel angewendet:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2= \langle x^2-2x \langle x \rangle+ \langle x \rangle ^2 \rangle \end{eqnarray*}$

Soweit ist es noch verständlich. Hier komme ich aber nicht mehr weiter:

$\begin{eqnarray*} = \langle x^2 \rangle -2 \langle x \rangle \langle x \rangle + \langle x \rangle ^2= \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe beide Seiten nicht mehr. Bei der linken weiß ich nicht, wie das erste $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ zum Mittelwert $\begin{eqnarray*} \langle x^2 \rangle \end{eqnarray*}$ wurde, wie $\begin{eqnarray*} -2x \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -2 \langle x \rangle \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ wurde und warum $\begin{eqnarray*} \langle x \rangle ^2 \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} \langle \langle x \rangle ^2 \rangle \end{eqnarray*}$ wurde.

Bei der zweiten (also rechten) Seite verstehe ich nicht, wieso auf einmal der zweite Term der linken Seite $\begin{eqnarray*} 2 \langle x \rangle \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ verschwunden ist.

13.10.2011, 15:13

René Gruber

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Dein Erwartungswertoperator $\begin{eqnarray*} \langle \ldots \rangle \end{eqnarray*}$ ist linear, das wird in der Umformungszeile nach der binomischen Formel genutzt:

$\begin{eqnarray*} \left\langle x^2 - 2x \langle x \rangle + \langle x \rangle^2 \right\rangle = \left\langle x^2 \right\rangle - 2 \left\langle x \langle x \rangle \right\rangle + \left\langle \langle x \rangle^2 \right\rangle \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist der Erwartungswert einer Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ selbst, also $\begin{eqnarray*} \langle c \rangle = c \end{eqnarray*}$ , das gilt natürlich z.B. auch für $\begin{eqnarray*} c = \langle x \rangle^2 \end{eqnarray*}$ . Außerdem kann man solche reellen Faktoren $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus der Erwartungswertbildung herausziehen, also $\begin{eqnarray*} \langle cx \rangle = c \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ , auch das kannst du z.B. für $\begin{eqnarray*} c = \langle x \rangle \end{eqnarray*}$ hier zur Anwendung bringen...

13.10.2011, 15:25

infiniteperiod

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Dann müsste auch

$\begin{eqnarray*} c= \langle x \rangle = \langle \langle x \rangle \rangle = \langle \langle \langle x \rangle \rangle \rangle = ... \end{eqnarray*}$

gelten, oder?

Und was ist mit dem Teil

$\begin{eqnarray*} 2 \langle x \rangle \langle x \rangle \end{eqnarray*}$

Der fällt ja einfach so weg (ohne dem Minus davor)?

13.10.2011, 15:30

infiniteperiod

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Es hat sich erledigt. Jetzt habe ich es verstanden, denn dieser Teil fällt gar nicht weg. smile

Danke!

13.10.2011, 15:33

René Gruber

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Zitat:

Original von infiniteperiod
Dann müsste auch

$\begin{eqnarray*} c= \langle x \rangle = \langle \langle x \rangle \rangle = \langle \langle \langle x \rangle \rangle \rangle = ... \end{eqnarray*}$

gelten, oder?

Ja.

Zitat:

Original von infiniteperiod
Und was ist mit dem Teil

$\begin{eqnarray*} 2 \langle x \rangle \langle x \rangle \end{eqnarray*}$

Der fällt ja einfach so weg (ohne dem Minus davor)?

Nichts fällt da weg: Es ist

$\begin{eqnarray*} -2\langle x \rangle \langle x \rangle = -2\langle x \rangle^2 \end{eqnarray*}$ ,

was zu dem einen $\begin{eqnarray*} \langle x \rangle^2 \end{eqnarray*}$ dazuaddiert dann $\begin{eqnarray*} -\langle x \rangle^2 \end{eqnarray*}$ ergibt. Auf sowas muss man nach der Vorarbeit oben aber auch mal selbst kommen. unglücklich

EDIT: Ja, so ist das, wenn man mitten im Beitragschreiben zum Telefon gerufen wird - inzwischen hast du es also selbst rausgefunden. Augenzwinkern

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