kurvendiskussion

02.01.2007, 13:30

~lia~

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kurvendiskussion

ich muß folgende Fkt. auf nullstellen, extrempunkte und wendepunkte untersuchen, und wüßte gerne, ob ich das richtig gemacht habe geschockt

geschockt

danke schonmal und liebe grüße lia (die sicher wieder ein paar fehler gemacht hat unglücklich

unglücklich

)

f(x)= $\begin{eqnarray*} 4x^{4}-4x^{2} \end{eqnarray*}$

1. Ableitungen

f`(x)= $\begin{eqnarray*} 8x^{2} -8x \end{eqnarray*}$

f``(x)= $\begin{eqnarray*} 16x-8 \end{eqnarray*}$

f```(x)= $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$

2. NST:

f(x)=0

$\begin{eqnarray*} 4x^{4}-4x^{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} (4x^{2} -4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (4x^{2} -4)=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

3.) Extrempunkte:

notw. Bed.: f`(x)=0

$\begin{eqnarray*} 8x^{2} -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(8x-8)=0 \end{eqnarray*}$

x=0 oder (8x-8)=0 -> x=1

=> $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

hinr. Bed.: f´´(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

f``(x)= $\begin{eqnarray*} 16x-8 \neq 0 \end{eqnarray*}$

f´´(0)= 16 (0)-8= -8 < 0 -> Max.

f´´(1)0 16 (1)-8= 8 > 0 -> Min.

=> H (0/-8) T (1/8)

4. Wendestellen:

notw. Bed.: f´´(x)=0

16x-8=0
16x=8
x=\frac{1}{2}

hinr. Bed.: f´´´(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

f´´´(x)= 16 > 0 -> WST r->l

02.01.2007, 13:38

TheGreatMM

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RE: kurvendiskussion
nicht ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

schreibe die Koord. vom Nullstellen, Tiefpunkt, Hochpunkt, Wendestellen mal auf,,,

im Moment ist nur
N1 (0 / 0)

richtig

02.01.2007, 13:41

TheGreatMM

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RE: kurvendiskussion
ach ja kannste die Rechnungen bitte einheitlich in latex machen, ansonsten geht das schnell auf die Augen unglücklich

unglücklich

02.01.2007, 14:12

Leopold

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Da die erste Ableitung schon falsch ist, erübrigt sich weiteres Nachrechnen. Die Basisdaten müssen schon stimmen, sonst wird das nichts mit der Kurvendiskussion.

02.01.2007, 14:23

~lia~

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Teufel

MOAH, ich honk... hab die 1. ableitung falsch abgeschrieben... auf meinem schmierzettel steht 16 böse

böse

also nochmal von vorne.... ich editier jetzt meinen eröffnungsbeitrag hier hinein:

f(x)= $\begin{eqnarray*} 4x^{4}-4x^{2} \end{eqnarray*}$

1. Ableitungen

f`(x)= $\begin{eqnarray*} 16x^{3} -8x \end{eqnarray*}$

f``(x)= $\begin{eqnarray*} 16x-8 \end{eqnarray*}$

f```(x)= $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$

2. NST:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^{4}-4x^{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} (4x^{2} -4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (4x^{2} -4)=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

3.) Extrempunkte:

notw. Bed.: f`(x)=0

$\begin{eqnarray*} 16x^{3} -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(16x^2-8)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (16x^2-8)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16x^2=8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,7 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_2=0,7 \end{eqnarray*}$

hinr. Bed.: f´´(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

f``(x)= $\begin{eqnarray*} 16x-8 \neq 0 \end{eqnarray*}$

f´´(0)= 16 (0)-8= -8 < 0 -> Max.

f´´(0,7)= 16 (0,7)-8= 3,2 > 0 -> Min.

=> H (0/-8) T (0,7/3,2)

4. Wendestellen:

notw. Bed.: f´´(x)=0

16x-8=0
16x=8
x= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

hinr. Bed.: f´´´(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

f´´´(x)= 16 > 0 -> WST r->l

02.01.2007, 14:34

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ~lia~
auf meinem schmierzettel steht 16

... und hoffentlich auch $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$

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02.01.2007, 14:52

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

aber deine zweite ableuitung ist nun falsch.

Denke an diese Formel.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

03.01.2007, 10:00

~lia~

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nochmal

traurig

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x^4-4x^2 \end{eqnarray*}$

1. Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f`(x)= 16x^3-8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f``(x)= 48x^2-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f```(x)=96 \end{eqnarray*}$

2. Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)= 4x^4-4x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x^4-4x^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2(4x^2-4)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4x^2-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$

3. Extremstellen:

$\begin{eqnarray*} -notw. Bed.: f`(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16x^3-8x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(16x-8)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 16x^2-8=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16x^2-8=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16x^2=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -hinr. Bed.:f``(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f``(0)= 48(0)^2-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =8 < 0 => Max. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f``(0,7)=48(0,7)^2-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =23,52-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =15,52 > 0 => Min. \end{eqnarray*}$

H (0/-8) T(0,7/15,52)

4. Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} -notw. Bed.: f``(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 48x^2-8=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 48x^2=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x^2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - hinr. Bed.: f```(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f```(x)=96 > 0 => WST \end{eqnarray*}$ bei 0,4 von rechts nach links

03.01.2007, 10:07

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

f '''(x) muss 96x lauten

Nullstellen sind korrekt.

Bei den Extrem- und Wendestelle vergisst du jeweils eine Stelle, denn wenn du in einer quadratischen Gleichung die Wurzel ziehst ergibt das immer ZWEI Lösungen.

Gruß Björn

03.01.2007, 10:10

~lia~

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich is das bei 0,7 bzw. 0,4 doch egal, weil -^x² ja eh wieder 0 gibt... oder seh ichd as falsch ? geschockt

geschockt

03.01.2007, 10:22

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du z.B. die Gleichung x²=4 hast, und du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehst, entsteht doch x=2 oder x= -2.

Denn sowohl 2*2=4 also auch (-2) * (-2) =4

Wie gesagt, quadratische Gleichungen haben IMMER zwei Lösungen.

Gleichungen 3. Grades haben 3 Lösungen...

Gruß Björn

05.01.2007, 00:27

Rimmaschka

Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich mal eine Frage.

Gleichungen 3. Grades haben beim Wurzel ziehen 3 Lösungen?????

Das höre ich ja zum ersten mal!!!!

Die 3 Wurzel aus 27 ist doch 3 und nur 3.

Liebe Grüße

Rimma

05.01.2007, 09:16

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Rimmaschka

Hast recht...ist natürlich nicht immer so.
Da war ich etwas ungenau.
Ich habe mich da eher auf die Aufgabe hier bezogen, wo es 3 Lösungen zu der Gleichung 3. Grades gab.

Danke für den Hinweis smile

smile

Gruß Björn

05.01.2007, 11:14

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was Bjoern1982 eigentliich sagen will ist, das enie Gleichung dritten Grades maximal 3 Lösungen besitzt.

05.01.2007, 11:31

speschlll

Auf diesen Beitrag antworten »

@lia:

versuch dir einfach mal die funktion vorzustellen, dann ist eigentlich klar, dass es für die extremstellen 3 lösungen geben muss
mfg, speschlll

05.01.2007, 12:54

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja vorallem erkennen kannst du dies an dem höchsten Exponenten wieviele Lösungen diese Gleichung maximal besitzt.

05.01.2007, 13:18

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Musti

Zitat:

Aber was Bjoern1982 eigentliich sagen will ist, das enie Gleichung dritten Grades maximal 3 Lösungen besitzt.

Danke, das ist die bessere Formulierung smile

smile

Gruß Björn

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