Extremalproblem- Eingesperrtes Rechteck

13.10.2011, 18:06	Gast2222222	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem- Eingesperrtes Rechteck Meine Frage: Zwischen Ursprung und Graph der Funktion f(x)=1+ 4/x^2 ist ein achsenparalleles Rechteck eingeperrt. Eine Ecke des Rechtecks ist der Usprung, die gegenüberliegende Ecke P liegt auf dem graphen von f. Wie müssen die Koordinaten von P gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Rechtecks minimal wird? Mfg Meine Ideen: Ich habe als Hauptbedingung: A=x*y (x und y sind die Seiten des rechtecks) Die Nebenbedingung kann ich irgendwie nicht aufstellen. Ich habe erst gedacht, dass f(x) die nebenbedingung ist, aber da habe ich dann für x und y bei Gleisetzen der HB und NB 2 rausbekommen. Aber es soll ja ein Rechteck sein. ich bitte schnellstens um Hilfe, da ich morgen Matheklausur schreibe
13.10.2011, 18:50	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten zunächst eine Zeichnung: [attach]21469[/attach] Nun ist deine Hauptbedingung völlig richtig: Fläche des Rechtecks, denn die soll ja maximiert werden. Jetzt nenne ich die eine Seitenlänge einfach mal $\begin{eqnarray} a\ \text{(=Breite des Rechtecks)} \end{eqnarray}$ . [] Und zwar soll das die Länge der Strecke $\begin{eqnarray} (AB) \end{eqnarray}$ sein. Dann ist $\begin{eqnarray} (\overline{BC}) = \text{Höhe des Rechtecks } =\ldots \end{eqnarray}$ Betrachte dazu die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} f(x)=1+ \frac{4}{x^2}\text{ .} \end{eqnarray}$
13.10.2011, 19:35	Gast22222	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, also ist meine Nebenbedingung f(x) ? Als Ergebnis, bekomme ich ich dann, wie gesagt, 2 und -2. lg und danke für die schnelle Antwort
13.10.2011, 21:50	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Aber für Klausuren muss man das ja auch ordentlich strukturieren. $\begin{eqnarray} \text{Breite }\cdot\text{ Länge } = a\cdot f(a)=a\cdot\left(1+\frac{4}{a^2}\right)=a+\frac{4}{a} \end{eqnarray}$ Die Fläche des Rechtecks ist $\begin{eqnarray} A(a)=a+\frac4a \end{eqnarray}$ bei einer Breite $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ... Dann $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ minimieren ! ... Achja, deine Lösungen sind richtig.

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