Multiplikative Gruppe (Beweis)

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NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikative Gruppe (Beweis)
Meine Frage:
Also ich habe folgende Aufgabe bei meiner ersten Mathevorlesung bekommen:

Sei (G,*) eine multiplikative Gruppe. Beweisen Sie, dass für Elemente a,b,c aus G gilt

(a) a*b= a*c => b=c
(b) a*c= b*c => a=b
(c) (a^-1) = a
(d) (a*b)^-1= b^-1*a^-1

Meine Ideen:
Ich habe folgende Lösung, weiß aber nicht ob das damit gemeint ist, weil es zu einfach aussieht:

(a) einfach beide Seiten geteilt durch a
(b) einfach beide Seiten geteilt durch c
(c) Potenzregel (-1)*(-1)= 1
(d) auch Potenzregel


Wenn das falsch ist, könntet ihr mir bitte dabei helfen zu finden, welche Lösungswege gemeint sind?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a),b): Warum kannst Du teilen?
Zu c),d): Warum gelten die Potenzgesetze ?
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe überhaupt keine Idee geschockt
Vielleicht weil es eine multiplikative Gruppe ist und a,b und c Elemente dieser Gruppe sind, ich weiß aber nicht wie der Beweis aussehen soll, kannst du mir für a) ein Beispiel machen bitteeee?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage von a) und b) ist gerade die, dass man teilen kann.
Die Sachen die man ausführen kann sind hier ziemlich überschaubar, Du hast hier nur die Gruppenaxiome zur Verfügung; hier ist die Existenz des Inversen nützlich.
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann z.B bei der 1) beide Seiten mit a^-1 multiplizieren, sodass 1*b=1*c => b=c folgt???
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dass ist hier der Punkt. Fürs Übungsblatt musst Du´s allerdings noch etwas sauberer aufschreiben.
 
 
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dankeeee, ich habe jetzt alle gelöst bis auf die 4. , was muss ich hier machen weil wenn ich multipliziere dann kommt 1 raus, wie muss ich hier vorgehen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eindeutigkeit des Inversen ausnützen..
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

die eindeutigkeit besagt ja, dass x*x^-1=1 ist
aber was hat das in diesem Fall zutun?

Kannst du mir keinen Ansatz geben?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was Du meinst ist die Existenz des Inversen.
Die Eindeutigkeit des Inversen besagt:
(gilt natürlich auch für Linksinverse nicht nur für Rechtsinverse).
Falls in der Vorlesung nicht bewiesen lässt es sich aus a) und b) folgern.
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich hier jetzt mit der Normalform multiplizieren , ich blicke garnicht mehr durch, denn ich verstehe nich wie ich die Eindeutigkeit hier anwenden soll, kannst du mir bitte weiter helfen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NG6767
ok dankeeee, ich habe jetzt alle gelöst bis auf die 4. , was muss ich hier machen weil wenn ich multipliziere dann kommt 1 raus, wie muss ich hier vorgehen?

Was hast Du denn hier genau gemacht? (vielleicht habe ich hier was anderes reininterpretiert)
Und was ist bitte Normalform in diesem Kontext?
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde das mit (a*b) multipliziren aber das hilft mir nicht weiterrrrr unglücklich traurig
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

(d)
heißt anders formuliert: ist das multiplikative Inverse zu
NG6767 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ab hier komme ich nicht weiter, weil wenn ich es mit der multiplikativen inverse multipliziere kommt 1 raus aber das ist doch nicht der beweis dafür das (a*b)^-1= b^-1*a^-1 traurig
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn ich es mit der multiplikativen inverse

Das jetzt zum wiederholten mal der Fall, dass Du Dich extrem schwammig und ungenau ausdrückst. Was ist "es" denn bitte? Apfel, Birnen, ab,ba, abba, The Beatles?
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