Nullstellen einer Sinusfunktion bestimmen |
| 13.10.2011, 18:30 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Nullstellen einer Sinusfunktion bestimmen Ich soll die Nullstellen der Funktion bestimmen. Meine Ideen: Bis jetzt habe ich es versucht umzuformen und es in einem vielfachen von Pi ausdrücken, ich bin aber recht ratlos. |
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| 13.10.2011, 18:33 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ausklammern und dann Satz des Nullprodukt bringt dich schonmal ein Stück weiter. |
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| 13.10.2011, 18:38 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe ich schon ausprobiert. sin(x) ( sin(x) - 1/2) = 0 bzw. sin(x) -1/2 = 0 Das Problem ist, ich habe in der Schule tatsächlich nicht gelernt wie genau so etwas geht. Klar haben wir Sinus-Funktionen grafisch betrachtet usw. aber die Nullstellenbetrachtung war immer auf das grafische reduziert... wenn ich es richtig verstanden habe gilt in diesem fall, dass x = n * pi, wobei n Element der natürlichen zahlen ist ? Um ehrlich zu sein hilft mir das nicht so sehr 
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| 13.10.2011, 18:42 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja das ist doch schonmal richtig. Jetzt noch sin(x)- 1/2 = 0 Das umstellen ist ja einfach. Was ist denn dann hier zu beachten? |
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| 13.10.2011, 18:44 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht stehe ich auch nur ganz schwer aufm Schlauch. Es ist zwar schön, dass ich nun sin(x) = 1/2 habe aber nunja was nun ? ich will ja eine Funktion, dass es mir ermöglicht eine allgemeine Aussage über die Nullstellen zu treffen. Wenn ich jetzt einfach nur nach x auflöse bekomme ich eine feste Zahl oder nicht ? Hilfe ?! |
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| 13.10.2011, 18:45 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was musst du denn jetzt machen um einen Wert für x zu bekommen? |
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| 13.10.2011, 18:49 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja grundsätzlich hätte ich arcsin verwendet also sin(x) = 1/2 x = arcsin(1/2) x = 0,52 (ungefähr) |
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| 13.10.2011, 18:52 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja das ist schonmal soweit richtig. Dein ungefährer Wert ist darüber hinaus ein Teil von Pi. Welcher? Zusätzlich haben wir noch ein zweites Problem, weißt du was ich meine? |
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| 13.10.2011, 18:57 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Um ehrlich zu sein, nein. 0,52 scheint 1/6 von Pi zu sein. Soll das bedeuten, das die Nullstellen in Abhängigkeit von pi * 1/6 stehen ? Ich hol mal grad ein neues blatt und schaue mir die Nullstellen nochmal an. Vielleicht wird es dann klarer |
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| 13.10.2011, 18:58 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau... pi/6 ist schonmal garnicht verkehrt. Vielleicht hilft die folgendes auf die Sprünge: |
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| 13.10.2011, 19:04 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay ich habe das Gefühl, dass du mich darauf hinweisen willst, dass der Sinus um 0,5 auf der y Achse verschoben ist, wodurch sich natürlich auch die Nullstellen etwas verschieben. Die Nullstellen kann ich momentan ja durch 1* pi * (1/6) 5 * 6 * 12 * . . . berechnen. Mir fehlt da aber leider noch jeglicher zusammenhang. |
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| 13.10.2011, 19:08 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Worauf ich hinaus möchte ist, dass die Nullstellen nicht mehr periodisch mit Pi sind sondern, dass es zwei Lösungen gibt die periodisch mit 2*Pi sind. Die erste Lösung hast du schon geliefert, es fehlt nun nurnoch die zweite. |
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| 13.10.2011, 19:18 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht ist folgende Überlegung Blödsinn. Der erste Nulldurchgang liegt ja bei pi/6. Der zweite Nulldurchgang sollte nun nicht periodisch zu pi/6 sein, wenn ich das richtig verstanden habe. Ist die zweite Nullstelle einfach nur zu einem anderen Teil von pi periodisch ? Also durch probieren habe ich jetzt immerhin herausgefunden dass die zweite Nullstelle 2/3*pi + pi/6 ist. Ist das ein Lösungsansatz ? |
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| 13.10.2011, 19:26 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beide Nullstellen sind jetzt einfach zu 2Pi periodisch. Zu deiner 2. Lösung: Diese ist richtig, aber leider geraten^^. Zunächst mal sind 2/3 pi + 1/6 pi = 5/6 pi^^ Um deine zweite Lösung zu bekommen kannst du dir am besten den Einheitskreis betrachten. Du hattest ja schon die Lösung 1/6 pi. Wenn du einen Punkt in der selben Höhe haben willst, musst du einfach Pi minus dein Ergebnis rechnen. Ich hoffe das ist halbwegs verständlich. Zuletzt schreibst du die beiden Ergebnisse in einer 2pi periode hin und Fertig. dann hast du alle nullstellen dieser funktion. 
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| 13.10.2011, 19:49 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, also um die erste Nullstelle zu bekommen, gilt einfach 1 * pi/6. Für die Zweite gilt pi - pi/6. Um den Verlauf mal zu verstehen. 0 pi/6 pi - pi/6 pi 2pi 2pi + pi/6 3pi - pi/6 3pi usw. Ich habe zwar verstanden wie ich das erste ergebnis berechnet habe und auch, warum sich das um pi/6 verschiebt, aber woher kommt der sprung zwischen pi und 2pi ? Ist das irgendwie durch das ausgeklammerte sin(x) ? Und vielen Danke für die Hilfe bis hier hin, aber wie schreibt man sowas korrekt auf ? |
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| 14.10.2011, 10:13 | Colt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wobei n aus der menge der ganzen zahlen ist. Wenn du bei deiner zweiten und dritten Lösung eine Periode von Pi nehmen würdest, bekämst du negative Werte heraus. Nach einer Periode von Pi ist der Kreis in einem Bereich, wo dein sinus negativ ist. Hierzu mal dir doch nochmals den Einheitskreis auf. |
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| 14.10.2011, 11:00 | Azzie2k8 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, um mal das Allgemeine Verständnis zu bekommen. Deine Werte x1,x2,x3 geben alle Zusammen alle Nullstellen der Funktion wieder. Die periode ist bei 2 pi, weil 2 pi nunmal einer Wellenlänge entprechen (Also 2 pi bis man wieder am selben Punkt ist meine ich damit). Wenn die Funktion etwas anders aussehen würde, gäbe es eine unterschiedliche Anzahl an x, richtig ? Einfach, weil die Funktion anders die x-Achse schneiden würde. Welche Rolle spielt n jetzt genau ? Sie ist ganzzahlig soweit so gut. Gibt sie die n-te Nullstelle an ? Also erste Nullstelle wäre bei 0 * pi, zweite pi/6 * 2pi * 2 ? Ich glaube das habe nich noch nicht zu 100% verstanden... |
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