Was ist die Inversfunktion von e^(-x )?

13.10.2011, 20:09

Chacko

Was ist die Inversfunktion von e^(-x )?

Meine Frage:
Wir hatten heute ein Examen, wo es darum ging, foolgendes zu berechnen.

Gegeben war U=(0,1) und Y= $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Man musste nun
F_{y} (Y)
f_{y} (Y)
V(Y) berechnen.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war ganz kurz mal dargestellt:

Distributionsfunktion von der Uniform darzustellen (x-0)/(1-0), dann die lineare Transformation von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ durchzuführen und das Ergebnis (hatte -1*lnx als Inversfunktion genommen)in die Distributionsfunktion reinzustecken, also das x durch -1*lnx ersetzt.
Das war dann mein F_{y} (Y). So, um f_{y} (Y) herauszukriegen, habe ich erste Ableitung von F_{y} (Y) genommen.
Um Varianz herauszubekommen, habe ich EY^2 - (EY)^2 genommen. Ich habe einfach so berechnet: EY = \int_0^1 \! y f(y) \, dy .

Ich weiß, meine Klausur ist failed, aber ich habe es versucht.

13.10.2011, 20:14

René Gruber

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Zitat:

Original von Chacko
Gegeben war U=(0,1) und Y= $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Soll das bedeuten, dass X eine gemäß U(0,1) verteilte Zufallsgröße ist? Dann schreibe es doch auch so hin und verlass dich nicht drauf, dass das hier die plausibelste Variante ist.

Ich nehme außerdem an, dass du mit "Distributionsfunktion" die Verteilungsfunktion meinst? Man muss ja nicht in so einem Denglisch reden.

Und schließlich hast du ein fast gestörtes Verhältnis zur in der Stochastik üblichen Bedeutung von Groß- und Kleinschreibung, also:

Großbuchstaben = Zufallsgrößen
Kleinbuchstaben = feste Zahlen (Parameter, Argumente usw.)

In dem Sinne heißt das also oben wohl $\begin{eqnarray*} Y= e^X \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F_Y(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ .

Möglich, dass du das für kleinkariert hältst, aber meiner Erfahrung nach ist ein solches Chaos schon ein erstes Indiz für fehlendes inhaltliches Verständnis.

13.10.2011, 20:18

Chacko

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Ja, sorry. Ist alles auf Englisch das Studium, deshalb sind mir die Begriffe nur auf Englisch bekannt, außerdem bin ich leider im Schulmathe Thread gelandet statt im Uni-Forum.

Naja, wie dem auch sei: zufallsverteile Zufallsgröße und Verteilungsfunktion. Korrekt.

13.10.2011, 20:20

René Gruber

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Na schreib doch mal konkret hin, was du als $\begin{eqnarray*} F_Y(y) \end{eqnarray*}$ herausbekommen hast - am besten mit Weg (nicht nur verbal, das war kaum verständlich oben).

Zitat:

Original von Chacko
Ist alles auf Englisch das Studium, deshalb sind mir die Begriffe nur auf Englisch bekannt

Dann ist vielleicht folgende Übersicht was für dich, zumindest der Übersetzungsanteil.

13.10.2011, 20:34

Chacko

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Ich habe ein fehlendes inhaltliches Verständnis, auch korrekt. War mir eh nie klar, wieso man einmal große Buchstaben nutzt und einmal kleine Buchstaben.

Außerdem war es $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ und nicht e^{x} .

Wie sol ich den Werdegang nochmals erklären? Ich glaube sowieso, dass ich es total falsch verstanden habe. Ich weiß ja nicht mal wie ich es ausdrücken soll, ohne die Begrifflichkeiten zu vermixen.

Mir geht es primär darum, zu wissen, was die Inversfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist, denn ich glaube,man muss die Inversfunktion nutzen.

Keine Sorge, ich will nichts auf dem silbernen Tablett, aber vielleicht kann mir einer kurz schildern, was man hätte machen müssen.

Nach so einer Klausur bin ich echt fix und fertig. Und wenn ich nur eine korrekten Ansatz wüßte, würde ich es hier aufschreiben.

13.10.2011, 20:43

René Gruber

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"Inversfunktion nutzen" ist ziemlich unbestimmt, das ist ja lediglich Mittel zum Zweck.

Also: Es ist $\begin{eqnarray*} Y= e^{-X} \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} F_X(t)=P(X\leq t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_Y(t)=P(Y\leq t) \end{eqnarray*}$ die beiden Verteilungsfunktionen. Nun rechnet man für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ so:

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(e^{-X} \leq y) \stackrel{(1)}{=} P(-X \leq \ln(y)) = P(X \geq -\ln(y)) \stackrel{(2)}{=} 1-P(X < -\ln(y)) = 1-F_X(-\ln(y)) \end{eqnarray*}$ ,

dabei wurde bei (1) die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion genutzt, die Logarithmusfunktion, außerdem die Tatsache, dass diese monoton wachsend ist, weswegen das Relationszeichen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ erhalten blieb. Bei (2) wird einfach die Grundregel $\begin{eqnarray*} P(A)=1-P(A^c) \end{eqnarray*}$ für ein Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und dessen Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Jetzt weiter mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ der Gleichverteilung U(0,1) arbeiten.

13.10.2011, 21:18

Chacko

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Da sage ich nur: Besten Dank! Ich bin deshalb deprimiert, weil die Klausur und die 2 weiteren Klausuren aus der Statistikreihe für mich entscheiden, ob ich hier (im Ausland) noch weiter bleibe oder freiwillig aufgebe und nach D zurückkehre (falls ich hier es nicht hinkriege). Das ganze wird mir zu kompliziert und schwierig. Und der Druck ist groß, zumal hier einiges Vorwissen vorausgesetzt wird, was ich vorher nicht wußte.

14.10.2011, 14:19

René Gruber

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Ich will ja nicht drängen, aber eigentlich geht es hier schon noch weiter:

Zitat:

Original von René Gruber
Jetzt weiter mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ der Gleichverteilung U(0,1) arbeiten.

Soll heißen, du bist am Ball - sofern du nicht das Interesse verloren hast, oder jetzt auch so für dich alles bei dieser Aufgabe klar ist. Augenzwinkern

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