Wieso kann man den Abstand vom Punkt zur Ebene mit der Hesseschen Normalform berechnen?

13.10.2011, 21:24	Mandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kann man den Abstand vom Punkt zur Ebene mit der Hesseschen Normalform berechnen? Meine Frage: Wir haben in der Schule die Hessesche Normalform behandelt und erfahren, dass man den Ortsvektor eines Punktes nur in sie einsetzen muss und dann den Abstand der Ebene zum Punkt erhält. Mein Lehrer konnte mir aber nicht beantworten warum das so ist. Könnte mir jemand die Herleitung erklären? Meine Ideen: Ich glaube es hat irgendwas mit cosinus zu tun, aber wie genau weiß ich nicht.
13.10.2011, 23:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Hessesche Normalform enthält den normierten senkrechten Vektor $\begin{eqnarray} \vec n_0 \end{eqnarray}$ zur Ebene. Normiert heisst, dass sein Betrag 1 ist. E: $\begin{eqnarray} \vec x \cdot \vec n_0 =d \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray}$ ist wiefolgt definiert: Länge von $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ mal der Länge der orientierten senkrechten Projektion von $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ Ist nun $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ normiert, dann ist das Produkt der orientierte Abstand der projektierten "Spitze" von $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ ( oder Geraden duch $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ ) zum Anfang von $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ Das unbedingt mal aufzeichnen! Wendest du das sinngemäss auf E an, wird klar, dass d der Abstand zum Ursprung ist. demnach E: $\begin{eqnarray} \vec x \cdot \vec n_0 - d=0 \end{eqnarray}$ das liest sich jetzt so: jeder Punkt X der Ebene hat den Abstand Null zur Ebene! Und nun: sollte X nicht in E liegen =Punkt P, dann ist der linke Ausdruck der Ebenengleichung nicht Null, sondern ...
14.10.2011, 11:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein schöner Link dazu mit einer wirklich äußerst einfachen/intuitiven Herleitung findet man auch hier: http://k-achilles.de/vektorrechnung/abstandsbestimmungen.pdf

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