Potenzmenge mit boolescher Algebra verknüpfen

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1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmenge mit boolescher Algebra verknüpfen
Meine Frage:
Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich habe leider keinen Plan von dieser Angabe:

1. Menge M: {3,5,7}, P(M) ist die Potenzmenge von M.
(P(M), u, n (Vereinigt und geschnitten), c (Komplement)) ist ein Boole'scher Verband. Wie lauten die neutralen Elemente bezüglich u und n?
2. Ist die Teilmengenrelation <Zeichen für Teilmenge> auf P(M) eine Halbordnung, dh, reflexiv, transitiv und antisymmetrisch?
Vielen Dank im Vorraus

Meine Ideen:
Zu meinem Wissensstand:

Zu 1.: Ich kenne die Mengen der Potenzmenge: Leere Menge, 3,5,7 (3,5), (3,7), (5,7), (3,5,7) und ich kenne die Boolsche Logik mit den Verknüpfungsarten "und" "oder" etc. kenne hier aber nur Möglichkeiten 0er und 1er miteinander zu verknüpfen und keine Mengen oder zahlen wie 3, 5 und 7, ich weiß also nicht, was ich womit wie verknüpfen muss.

Zu 2.: Ich weiß nicht, wie hier die genaue Relation lautet, da eigentlich mehrere Mengen gegeben sind, ich kann aber von einer Relation bestimmen, ob sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzmenge mit boolescher Algebra verknüpfen
hallo!
neutrales element bezüglich der vereinigung sollte die leere menge sein, denn eine beliebige menge vereinigt mir der leeren menge ist wieder diese menge. analog kannst du das neutr. element beim durchschnitt ermitteln.
zu 2.: die teilmengenrelation soll auf der potenzmenge von M betrachtet werden, was genau ist hier nicht klar?
lg
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist es mathematisch korrekt, bei 1. zu schreiben:
P(M)u<Leere Menge Zeichen>=P(M)
P(M)n<Leere Menge Zeichen>=P(M)
?

Zu 2.: Ich weiß nicht genau, wie diese Teilmengenrelation aussieht, zb. kann ich x teilt y nach den halbordnungskriterien bewerten, weil ich eine genaue Relation gegeben habe, ich weiß aber nicht, wie man die Relation "die Teilmengenrelation soll auf der Potenzmenge von M betrachtet werden" aufschreibt.
Ich hoffe, dass ich das jetzt verständlich formuliert habe Big Laugh

lg
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ist es mathematisch korrekt, bei 1. zu schreiben:
P(M)u<Leere Menge Zeichen>=P(M)
P(M)n<Leere Menge Zeichen>=P(M)
?

mit "analog" meinte ich nicht, dass es dasselbe ist! ist denn eine menge geschnitten mit der leeren menge wieder sie selbst? ich glaube nicht. außerdem denke ich die operationen und/oder sollen auf die elemente der potenzmenge, und nicht auf sie selbst angewendet werden!

Zitat:
Zu 2.: Ich weiß nicht genau, wie diese Teilmengenrelation aussieht, zb. kann ich x teilt y nach den halbordnungskriterien bewerten, weil ich eine genaue Relation gegeben habe, ich weiß aber nicht, wie man die Relation "die Teilmengenrelation soll auf der Potenzmenge von M betrachtet werden" aufschreibt.
Ich hoffe, dass ich das jetzt verständlich formuliert habe


die teilmengenrelation sieht so aus:

du musst nun prüfen, ob sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

lg
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mich jetzt erst mal an die Lösung des ersten:

Ich verknüpfe die einzelnen Mengen der Potenzmenge, die ich in meinem ersten Post aufgelistet habe, mit "oder" mit der Leeren Menge (ich schreib das mal als <0>):

<0>u<0>=<0>
(3)u<0>=(3)
(5)u<0>=(5)
(7)u<0>=(7)
(3,5)u<0>=(3,5)
(3,7)u<0>=(3,7)
(5,7)u<0>=(5,7)
(3,5,7)u<0>=(3,5,7)

Für die "und" Verknüpfung habe ich mir folgendes gedacht: In der "normalen" booleschen Algebra nur mit 0 und 1 ist ein Wert bei einer "und" Verknüpfung nur dann 1, wenn beide zu verknüpfenden Werte 1 sind, also wenn man 0011 mit 0011 (sich selbst) verknüpft, erhält man wieder 0011, also ist das neutrale Element bezüglich der "und" Verknüpfung die Menge selbst:

<0>n<0>=<0>
(3)n(3)=(3)
(5)n(5)=(5)
(7)n(7)=(7)
(3,5)n(3,5)=(3,5)
(3,7)n(3,7)=(3,7)
(5,7)n(5,7)=(5,7)
(3,5,7)n(3,5,7)=(3,5,7)

Eine andere Idee wäre noch gewesen, die Menge mit dem "Verum" zu verknüpfen, da alles, was man mit dem Verum "und" verknüpft, gleicht bleibt (zb 0011 und 1111= 0011) aber da hab ich nicht gewusst, ob es dieses Verum "hier" außerhalb des Bereichs, wo nur 0 und 1 existieren auch gibt.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

für die vereinigung ists richtig, das brauchst du aber eig. nicht für jedes element einzeln zeigen, sondern hättest es auch allgemein für mengen zeigen können.
beim durchschnitt stimmts nicht ganz, denn es soll genau ein neutrales element geben, wie wärs denn einfach mal mit M!?
 
 
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Also: MnM=M?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimmt, aber worauf bezieht sich dein "also"?
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

War nur so ein schlussfolgerungeinleitendes "also", weil du gesagt hast:" Wie wärs mit M?".

Zu 2.: Ich muss alle Elemente der Potenzmenge auf Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie prüfen. Wenn ich jetzt A Relation B habe, als was für ein Zeichen soll ich diese Relation deuten? Um das zu verdeutlichen, schreib ich hier mal ein anderes Beispiel auf, wie ich das normal mache:


a|b (b teilt a) (als Menge verwend ich mal die natürlichen Zahlen)

Reflexiv: Für alle Elemente a einsetzen --> a/a stimmt --> reflexiv
Transitiv: Wenn aus a Relation b und b Relation c stets a Relation c folgt.
Wenn b a teilt, und c b, dann teilt c auch a --> stimmt --> Transitiv (zb a=16, b=4, c=2, 4 teilt 16, 2 teilt 4 daher teilt 2 auch 16)
Antisymmetrie: Wenn nicht gleichzeitig a Relation b und b Relation a gelten kann und a und b verschieden sind --> stimmt nicht (zb a=16, b=4 4 teilt zwar 16 aber umgekehrt teilt 16 nicht 4)

Ich hoffe das war verständlich. Mein Problem ist: In diesem Beispiel hier habe ich für das Relationszeichen "|" eingesetzt, aber was für eine Operation muss ich bei meinem Beispiel aus dem ersten Post Nr.2 verwenden?
Weil bei "Relation" weiß man ja nicht, was man da machen soll, zb 5+3=8, aber 5 Relation 3 ka... Verstehst du was ich meine?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

was das für eine relation ist, habe ich dir doch geschrieben:
Zitat:

A steht in relation zu B genau dann, wenn A teilmenge von B ist.
du testest also, ob
usw.
und nochmal zum neutr. element bezüglich des durchschnitts: für alle elemente A von P(M) gilt: AnM=A , also ist M das neutr. el. bez. durchschnitt.
lg
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weisbrot
was das für eine relation ist, habe ich dir doch geschrieben:
[QUOTE]


Oh, sorry, die Zeile hab ich falsch gedeutet Hammer

Zitat:
A steht in relation zu B genau dann, wenn A teilmenge von B ist.
du testest also, ob
usw.


Ich frag mal zur Sicherheit: Das ist jetzt die Prüfung bezüglich der Transitivität?
lg
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

öhm, ja! ich denk du hast das schonmal gemacht?!
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schon, aber da war das (zumindest für mich für mich) nicht so abstrakt sondern mehr sowas wie a=b^2 und a<b.

Menge: (3)

Reflexiv: Ja, 3 ist eine Teilmenge von 3.
Antisymmetrisch: Nein, a und b müssen ja unterschiedlich sein.
Transitiv: Ja, da die Menge nur aus 3 besteht.

Menge: (3,5)

Reflexiv: Ja, weil man für beides a einsetzt und a eine Teilmenge von sich selbst ist.
Antisymmetrisch: Nein, weil zb a 3 und b 5 sein könnte, und dann weder a von b noch b von a eine Teilmenge wäre.
Transitiv: Nein, aus dem gleichen Grund wie bei der Antisymmetrie. Ich nenne das jetzt mal "weil die Variablen auch "nicht gleich" sein können". Weil zb. 5 ist keine Teilmenge von 3.

Hab das jetzt mal exemplarisch von 2 Mengen aus der Potenzmenge ausgewertet, richtig so?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

also erstmal ist zu klären, ob es sich um die echte oder "unechte" teilmengenrelation handelt, also oder ? ich denke es ist die "unechte" gemeint, da diese eine halbordnung wäre.
also weiter: deine beweisführung scheint mir etwas wirr.

wir betrachten beliebige nichtleere mengen A,B,C:

es gilt , die relation ist also reflexiv.
es gelte , dies ist äquivalent zu , also ist die relation auch antisymmetrisch.
sei nun , wir zeigen, dass daraus folgt:
, also ist , womit auch die transitivität gezeigt ist.

klar was hier gemacht wurde?

die relation ist also sozus. auf der menge aller nichtleeren mengen eine halbordnung, also auch auf P(M).

lg
1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weisbrot
es gilt , die relation ist also reflexiv.
es gelte , dies ist äquivalent zu , also ist die relation auch antisymmetrisch.


Soweit klar, aber ist Antisymmetrie nicht bestimmt als "wenn nicht gleichzeitig a Relation b und b Relation a gelten kann"? Das müsste dann heißen, dass sie nicht gleich sein dürfen.

lg
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

antisymmetrie ist definiert als: wenn a~b und b~a, dann a=b; das ist äquivalent zu: für verschiedene elemente a und b gilt nicht gleichzeitig a~b und b~a. lg
a1123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, na dann xD

Danke ^^
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

wenn dann alles klar ist: bitte smile
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