Finite Differenzenmethode

14.10.2011, 12:46	thomasmayr	Auf diesen Beitrag antworten »
Finite Differenzenmethode Hallo, ich suche dringend die Lösung für Folgendes numerisches Problem: Gegeben sei das Randwertproblem - Problem als Bild im Anhang- Ist dieses Problem eindeutig lösbar? Man diskretisiere das Problem mit dem Finite Differenzen Verfahren und untersuche die Lösbarkeit des resultierenden linearen Gleichungssystem. An und für sich würde die Finite Differenzenproblematik nicht schwer sein, nur die abgeleiteten Randbedingungen weiss ich nicht zu deuten. Kann mir jemand einen tip geben? Grüße
14.10.2011, 20:08	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für einen finiten Differenzenstern benutzt du denn? Du musst eine finite Differenzen-Approximation für die Ableitung am Rande benutzen.
14.10.2011, 23:27	thomasmayr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort. leider werden diese numerischen Verfahren bei uns auf der Uni nicht so vertieft, deshalb Entschuldige bitte wenn ich die genauen Begriffe nicht kenne. Üblicherweise besitzen solche Beispiele bei uns die Randbedingungen u(0)=0 und u(1)=0. Die Probleme werden dann wie im angehängten Bild gelöst. (Für einen Mathematiker sicher total Öberflächlich :-) Bei den neuen Beispielen sind aber nun die Grenzen als Ableitungen vorhanden und der genaue vorgang wie diese in die Rechnung eingebracht werden sind mir nicht bekannt. Könntest du mir das eventuell schildern? Mit freundlichen Grüßen
15.10.2011, 13:16	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann denke ich dass du $\begin{eqnarray} \frac{u(x_{k-1})-2u(x_k)+u(x_{k+1})}{h^2} \end{eqnarray}$ () als Annäherung an die zweite Ableitung benutzt. Ausserdem hast du ein Gitter $\begin{eqnarray} 0=:x_0<x_1<...<x_N:=1 \end{eqnarray}$ mit einer Schrittweite $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ definiert. Um den Differenzenstern () nun auch an den Randpunkten $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_N \end{eqnarray}$ benutzen zu können, bräuchtest du quasi $\begin{eqnarray} x_{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{N+1} \end{eqnarray}$ . Wenn du die Approximation $\begin{eqnarray} 1=u'(x_0)\approx\frac{x_{1}-x_{-1}}{2h} \end{eqnarray}$ benutzt, kannst du $\begin{eqnarray} u(x_{-1}) \end{eqnarray}$ aus () eliminieren. Entsprechend das Ganze für den anderen nicht vorhandenen Gitterpunkt $\begin{eqnarray} x_{N+1} \end{eqnarray*}$ .
15.10.2011, 14:58	thomasmayr	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt einleuchtend. Vielen Dank für die Hilfe, ich werde es gleich ausprobieren.

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